有界閉集合からの連続全単射は逆写像も連続である

新井仁之『ルベーグ積分講義』p322、問題14.4の解答後半(連続性をいう箇所)を一般的に書き直したら、有名な定理に帰着された。以下において\(X\)を\([0,1]\)、\(Y\)を\([0,l]\)、\(l^{-1}\)を\(\tau\)、\(l^{-1}(s_n)\)を\(t_n\)と読み替えれば、教科書の証明に対応する。ただし背理法を解消するなど、その他の変更も加えている。

【定理】\(X,Y\)は\(\mathbb{R}\)の部分集合で、\(X\)は有界閉集合とする。\(l\)を\(X\)から\(Y\)への連続全単射とする。このとき、\(l^{-1}\)も連続である。

(証明)
・\(Y\)の点\(s_0\)
・\(s_0\)に収束する\(Y\)の点列\(s_n\)
・\(s_n\)の各項を\(l^{-1}\)でうつした\(X\)の点列\(l^{-1}(s_n)\)の部分列\(l^{-1}(s_{n*})\)
を、いずれも任意にとり、\(l^{-1}(s_{n*})\)が\(l^{-1}(s_0)\)に収束する部分列を持つことを導く。
\(l^{-1}(s_{n*})\)は\(X\)の点列ゆえ有界なので、収束する部分列\(l^{-1}(s_{n**})\)をとることができ、さらに\(X\)が閉集合であることから、その収束先\(t\)は\(X\)に属す。この各項を\(l\)でうつした\(Y\)の点列\(l(l^{-1}(s_{n**}))\)を考えると、これは\(l\)が連続写像であることから\(l(t)\)に収束する。同時に、この点列は\(s_{n**}\)という\(s_n\)の部分列でもあるので、\(s_0\)以外の値に収束することはない。以上により\(l(t)=s_0\)すなわち\(t=l^{-1}(s_0)\)を得るから、\(l^{-1}(s_{n*})\)の部分列\(l^{-1}(s_{n**})\)は\(l^{-1}(s_0)\)に収束する。

20181125集合と位相ゼミの補足

話題の依存関係は「(2)(3)と(4)は独立しており、ともに(1)に依存する。(5)はどの話とも独立している」です。

・(1)→(2)(3)
・(1)→(4)
・(5)

(1):
包含写像と相対位相の関係を整理しておきます。

準備として、包含写像による逆像が一般的にどう書かれるのか、念のため定義に戻って納得しておくことにします。

まず逆像一般の話として、\(f:P\to Q\)による\(B\subseteq Q\)の逆像\(f^{-1}[B]\)を考えたとき、\(f\)が全射でない限り\(B\)は\(f\)の値域外の要素を有するかもしれません。しかし逆像を考える際には、そんなことはいちいち気にせずに定義に従って\(f(x)\in B\)となる\(x\in P\)をすべて集めればよいだけです。例えば2次関数\(\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto x^2\)による\(\{4\}\)の逆像は\(\{2,-2\}\)ですが、\(\{4,-1\}\)の逆像も同じになります。

包含写像\(i:A\to X\)(ただし\(A\subseteq X\))による\(B\subseteq X\)の逆像\(i^{-1}[B]\)は、まず逆像の定義により\(\{x\in A\mid i(x)\in B\}\)と書かれます。いま\(x\in A\)に対し\(i(x)=x\)だから、この集合は\(\{x\in A\mid x\in B\}\)すなわち\(A\cap B\)と書き直されます。上記同様に、\(B\)は\(i\)の値域(すなわち\(i[A]=A\))外の要素を有するかもしれず、その逆像は\(B\)を\(A\)で切り出したものになることが容易に頷けます。

このように\(i^{-1}[\cdot]\)は\(X\)の部分集合を\(A\)でトリミングする作用を持っていると考えられます。いっぽう\(i[\cdot]\)は\(A\)の部分集合をそのまま\(X\)という舞台に載せる役割を果たします。

(2):
この「トリミング」という発想はまさに、部分空間・相対位相の考え方と同一です。そこで、包含写像を用いて相対位相の定義を書き直すことができます。\(X\)に位相\(\mathcal{O}_X\)が入っているとき、\( (X,\mathcal{O}_X)\)から\(A\)に下ろした相対位相\(\mathcal{O}_A^X\)とは、\(X\)の開集合\(O_X\in\mathcal{O}_X\)を各々\(A\)で切り出した\(A\cap O_X=i^{-1}[O_X]\)をすべて集めたものにほかなりません。したがって相対位相は\[\mathcal{O}_A^X=\{i^{-1}[O_X]:O_X\in\mathcal{O}_X\}\]と書くことができます。

(3):
(2)を用いて定理2.13.8を理解するために、写像の連続性について再考しておきます。

集合\(P,Q\)に対し、\(Q\)に入った位相\(\mathcal{O}_Q\)と写像\(f:P\to Q\)を固定し、\(f\)が連続写像であるためには\(P\)にどんな位相\(\mathcal{O}_P\)が入っていればよいかを考えます。「連続」=「開集合の逆像は開」を用いると、この条件は\[\{f^{-1}[O_Q]:O_Q\in\mathcal{O}_Q\}\subseteq\mathcal{O}_P\]と書けます。この左辺はそれ自体が位相をなすことが容易に確かめられ(確かめてください)、「\( (Q,\mathcal{O}_Q)\)の\(f\)による誘導位相」と呼ばれます。すなわち誘導位相は、与えられた終域位相と写像に対して、「その写像を連続にするために始域に入れるべき最弱の位相」と言うことができます。

これと(2)の「包含写像で定義した相対位相」を見比べると、相対位相\(\mathcal{O}_A^X\)は\( (X,\mathcal{O}_X)\)の包含写像による誘導位相であることが分かります。すなわち\(O_A^X\)は包含写像を連続にするために\(A\)に入れるべき最弱の位相です。

(4):
(1)でまとめた\(i^{-1}[\cdot]\)および\(i[\cdot]\)の作用を\(A\)の部分集合に限定して適用すると、集合そのものは変化させずに「\(A\)上で考えるか、\(X\)上で考えるか」だけを渡ることになります。すると、命題2.12.4の「→」は包含写像の開(閉)写像性にほかならず、また「←」は包含写像の連続性によっていることが分かります。以前にこの命題を扱った際、\(A\)が開(閉)集合でなくても「←」は成り立つことを見ましたが、これは「\(A\)が開(閉)集合でなくても包含写像は連続である」という事実に対応します。

(5):
個々の点における写像の連続性の言い換え(命題2.13.4)を用いると、定理2.13.11(連続写像の合成は連続)の証明が簡明になります。多くの教科書では、むしろ「言い換えたあとのほう」を定義として採用していると思います。

(証明)任意の点\(a\in X\)をとる。\( (g\circ f)(a)=g(f(a))\in Z\)の任意の近傍\(V\)をとると、\(g\)の連続性から\(g^{-1}[V]\)は\(f(a)\in Y\)の近傍である。すると\(f\)の連続性から\(f^{-1}[g^{-1}[V]]=(g\circ f)^{-1}[V]\)は\(a\)の近傍である。したがって\(g\circ f\)は\(a\)において連続である。■

20181118集合と位相ゼミの補足

●命題2.13.4(連続性の言い換え)の証明は、下記のように、もとの定義(1)を、(2)を経由して(3)に書き換える、と考えると見通しがよくなります。ただし、\(X\triangleright x\)は「\(X\)は\(x\)の近傍である」(\(X\in\mathcal{U}(x)\))を意味します。

(1)\(\forall V\triangleright f(a)\exists U\triangleright a[f[U]\subseteq V]\)
⇔(2)\(\forall V\triangleright f(a)\exists U\triangleright a[U\subseteq f^{-1}[V]]\)
⇔(3)\(\forall V\triangleright f(a)[f^{-1}[V]\triangleright a]\)

(1)と(2)の違いは\(\exists U\triangleright a\)よりも後の部分だけであり、(2)と(3)の違いは\(\forall V\triangleright f(a)\)よりも後の部分だけです。これらはいずれも、変化した部分同士だけ切り出して比較しても同値です。

(1)⇔(2)について:
一般に、\(f[U]\subseteq V\)と\(U\subseteq f^{-1}[V]\)は同値です。今回の発表では(→)の証明の途中で\(f[U]\subseteq V\rightarrow U\subseteq f^{-1}[V]\)(以下(*)とする)を用い、(←)を言うときには\(f[f^{-1}[V]]\subseteq V\)を用いていました。全体の証明の中に埋もれてしまうために気づきにくいですが、これは要するに\(f[f^{-1}[V]]\subseteq V\)のおかげで(*)の逆が言える(後件の両辺に\(f\)を作用させればよい)、ということが核心です。ちなみに、(*)の前件の両辺に\(f^{-1}\)を作用させて\(U\subseteq f^{-1}[f[U]]\)を用いれば後件が得られます。このように\(f[U]\subseteq V\)と\(U\subseteq f^{-1}[V]\)は「像の逆像」や「逆像の像」の性質を用いて互いに渡ることができますが、そもそも両者は\(\forall x\in U[f(x)\in V]\)を2通りの流儀で書いたものに過ぎませんから、本来は像・逆像の定義からただちに同値であることが分からないといけません。
なお、テキストには

\(f(U)\subset V\Leftrightarrow U\subset f^{-1}(V)\)であり,(中略)\(f(f^{-1}(V))\subset V\)であることに注意すれば

とありますが、前半の両向きの矢印を認めるならば後半の文言は必要ないと思われます。

(2)⇔(3)について:
集合\(X\)とその要素\(x\)に対して、\(x\in A\subseteq X\)なる\(A\)をとってくることを「\(A\)をカマす」と表現することにします。
「近傍である」=「開集合がカマせる」という定義から、「近傍がカマせること」と「近傍であること」は同値になります。
(証明)(→):同じ開集合をカマせばよい。(←):自分をカマせばよい。■
\(a\)と\(f^{-1}[V]\)との間で上記の同値関係を適用すれば、(2)は直ちに(3)に書き換わります。

●定理2.13.15の(4)には「逆像バージョン」の表現があり、それで書くと「すべての\(B\subseteq Y\)について\[(f^{-1}[B])^a\subseteq f^{-1}[B^a]\]が成り立つ」となります。この左辺の\(B\)を\(B^a\)に変えただけの、「すべての\(B\subseteq Y\)について\[(f^{-1}[B^a])^a\subseteq f^{-1}[B^a]\]が成り立つ」という条件を考えると、これは「閉集合の逆像は閉集合である」という条件にほかならないことに気付きました。これを理解するためには、以下の2点に注意が必要です。
・「閉集合をすべて集めたもの」と「各集合の閉包をすべて集めたもの」は同じ集合族なので、「すべての閉集合\(F\)について\(\psi(F)\)が成り立つ」と「すべての集合\(B\)について\(\psi(B^a)\)が成り立つ」は同値です。
・\(X\)が閉集合であることは\(X=X^a\)と同値ですが、もともと\(X\subseteq X^a\)は必ず成り立っているので、\(X^a\subseteq X\)だけでも同値です。
さて、両者の右辺同士は共通ですから、左辺同士を比較してみましょう。\(B\subseteq B^a\)の逆像をとり、さらに閉包をとっても包含関係は保たれて、共通の\(B\)に対しては後者の左辺が前者のそれを包含します。したがって後者のほうが前者より強い条件のように見えます。しかし前者の\(B\)として\(B^a\)を選びなおすと、\((B^a)^a=B^a\)により後者が得られます。以上により結局、両者は同値になります。

コンパクト集合と閉集合の交叉性と集合間距離

【問題】距離空間における部分集合\(K,L\)が、次の条件を満たしている。
・\(K\)はコンパクトである。
・\(d(K,L)=0\)である。
このとき、\(d(k,L)=0\)となるような\(k\in K\)が存在することを示せ。

(証明)\(d(K,L)=0\)から、任意の\(\epsilon > 0\)に対し、開球\(B(x,\epsilon)\)が\(L\)と交わるような\(x\in K\)が\(\epsilon\)ごとに存在する。そこで、\(B(x_n,1/n)\)がすべて\(L\)と交わるような\(K\)の点列\(x_n\)(\(n=1,2,\ldots\))を作る。\(K\)のコンパクト性により、\(A_n=\{x_i\mid i\geq n\}\) (\(n=1,2,\ldots\))のすべての触点となっているような\(k\in K\)がとれる。この\(k\)が\(d(k,L)=0\)を満たすことを示すために、任意の\(\epsilon > 0\)をとり、\(B(k,\epsilon)\)が\(L\)と交わることを導く。\(2/\epsilon\)以上の自然数\(m\)をとる。\(k\)は\(A_m\)の触点でもあるので、\(B(k,\epsilon/2)\)と\(A_m\)の共通元\(x_s\) (\(s\geq m\))がとれる。さらに\(B(x_s,1/s)\)と\(L\)の共通元のひとつを\(l\)とすると、\(d(k,l)\leq d(k,x_s)+d(x_s,l) < (\epsilon/2)+(1/s)\leq(\epsilon/2)+(1/m)\leq\epsilon\)を得る。■

特に\(L\)が閉集合のとき、\(k\in L\)となるので\(K\)と\(L\)は交わる。対偶を取れば、距離空間においてコンパクト集合\(K\)と閉集合\(L\)が交わらないならば\(d(K,L) > 0\)である。

ベシコヴィッチ・モンスターの構成

新井仁之『ルベーグ積分講義』(日本評論社)p190~p192の議論を書き直したもの。

\(\triangle{\rm ABC}=T\)に対して、操作(I)を施すことにより重なりの生じる部分(五角形\({\rm PQM'MR}\))を\(\Omega(T)\)とし、その面積を求める。\(\triangle{\rm QAM'}\)と \(\triangle{\rm RMB'}\)を、\({\rm QM'}\)と\({\rm RM}\)が一致するように合体させた三角形\({\rm QAM'(M)B'R}\)を考える。すると\(\triangle{\rm CAB}\sim \triangle{\rm PAB'}\sim\triangle{\rm QAM'(M)B'R}\)であり、相似比は\({\rm AB:AB':(AB'-M'M)}=1:\alpha:[\alpha-(1-\alpha)]\)となる。したがって\[\Omega(T)=\triangle{\rm PAB'}-\triangle{\rm QAM'(M)B'R}=[\alpha^2-(2\alpha-1)^2]T\]である。

操作(II)において、最初の\(\triangle{\rm ABC}\)を\(\Psi_0(=\Psi_{0,h})\)と書けば、\(\Psi_k\)から\(\Psi_{k+1}\)を得る操作を\(n\)回繰り返すことになる。1回の操作によって\(\Psi_{k,h}\)に由来する\(\Omega(\Psi_{k,h})/2^{n-k}\)の重なりが\(2^{n-k}\)個生じるので、これによって面積は\(\Omega(\Psi_{k,h})\)だけ減少する。この重なりは、その後の操作によって解消されることはないので、同部を「糊づけした」と考えてよい。いっぽう\(\Psi_{k,h}\)に由来しない部分は、新たな重なりが生じたり再び分離したりするため、その挙動は複雑である。そこで、面積の変化を見積もる際には「少なくとも、上述の糊づけされた分だけは面積が減少する」という事実を用いる。すると\(n\)回の操作によって面積は少なくとも\(\sum_{k=0}^{n-1}\Omega(\Psi_{k,h})\)だけ減少する。\(\Psi_{j+1,h}=\alpha^2\Psi_{j,h}\)より\(\Psi_{k,h}=\alpha^{2k}\Psi_{0,h}\)だから、以上の議論により\[\Psi_n\leq\left\{1-\sum_{k=0}^{n-1}[\alpha^2-(2\alpha-1)^2]\alpha^{2k}\right\}\Psi_{0,h}\]\[=\left[1-\frac{3\alpha-1}{1+\alpha}\left(1-\alpha^{2n}\right)\right]\triangle{\rm ABC}\]を得る。これは教科書p192の末尾で\(\sum\)の項数を有限のまま計算したものと一致する。
\(\Psi_n/\triangle{\rm ABC}\)を\(t(\alpha,n)\)とおき、任意の\(\epsilon > 0\)に対して、\(t(\alpha,n) < \epsilon\)となるような\(\alpha,n\)の組が\(\epsilon\)ごとにとれることを見る。小さい\(\epsilon > 0\)に対して\(\alpha_0=(4-\epsilon)/(4+\epsilon)\)とすると\(1/2 < \alpha < 1\)が成り立ち、\( (3\alpha_0-1)/(1+\alpha_0)=1-(\epsilon/2)\)である。さらに、この\(\alpha_0\)と\(\epsilon\)に対して、\({\alpha_0}^{n_0}\leq\epsilon/2\)なる自然数\(n_0\)をとることができる。このとき\(t(\alpha_0,n_0)\leq1-[1-(\epsilon/2)]^2 < \epsilon\)となる。

20181003セミナーのノート

(※内輪向けのメモ書きです。)
1. \(\Delta_0\)論理式の概念について
\(\Delta_0\)論理式自体は文字列としての論理式の「見た目」に依存する概念であって、互いに同値な論理式の一方が\(\Delta_0\)だが他方は\(\Delta_0\)でない、ということは珍しくありません。ただ絶対性を論じる際には同値であれば違いが吸収されるので、何か自分と同値な\(\Delta_0\)論理式を見つけさえすればよい、ということになると理解しています。したがって、この「違いが吸収される」という補題がどこかにあったのではないでしょうか(※まだKunen新版を入手できておらず未確認)。

2. ルベーグ不可測集合の構成の「第二段」までを書き直してみました。大きな変更点は
・\(\mathbb{R}\)の類別を考えるのではなく、初めから舞台を\( [0,1)\)に限定して類別を考えた。
・集合の要素を一斉にシフトした際に、右にはみ出した部分を左に戻す操作が煩雑なので、加減算を\(\rm modulo 1\)に変更して、演算の中に操作を組み込ませた。
の2点です。また\(\rm modulo\)に相性が良いように\( (0,1]\)を\( [0,1)\)に変えています。

集合\(I=[0,1)\)における\({\rm modulo} 1\)の加法・減法を\(\oplus,\ominus\)と書き*1、\(I\)上の2項関係\(\sim\)を\(x\ominus y\in\mathbb{Q}\)で定義する。\(x\ominus x=0,y\ominus x=\ominus(x\ominus y),x\ominus z=(x\ominus y)\oplus(y\ominus z)\)により、\(\sim\)は同値関係となる。選択公理により、各同値類から代表元をひとつずつ選んで集めた集合\(A\)を考えることができる。すると任意の\(x\in I\)の各々に対し\(x\ominus a\in\mathbb{Q}\)なる\(a\in A\)が一意に存在する。つまり、各\(x\)は\(a\in A\)および\(r\in I\cap\mathbb{Q}\)の組を用いて\(x=a\oplus r\)と一意に書かれる。そこで、このように書いたときの\(r\)の値によって\(I\)を類別することができる。すなわち、各\(r\in I\cap\mathbb{Q}\)に対し\(A_r=\{a\oplus r:a\in A\}\)と書けば、\(\{A_r:r\in I\cap\mathbb{Q}\}\)は\(I\)の類別となっている。

*1:例えば\(0.6\oplus 0.7=0.3,\ 0.1\ominus 0.2=0.9\)である。

高崎金久『学んでみよう!記号論理』ノート

高崎金久『学んでみよう!記号論理』(日本評論社)の正誤表
学んでみよう!記号論理
に未収録の誤りや補足など。

●p49、図1の(5)
――規則(f)を適用して直接得られるのは¬¬aと¬¬c。厳密にはこれに(h)を適用して初めてaとcを得るが、省略されている。p192の別解では省略されていない。

● p67、脚注1)
――2つ目の klassischer が klassicher になっている(sが抜けている)。

●p122
「(11)~(13)をきちんと確かめることも」
――(13)を(14)に。

●p155、証明の第n+1行の括弧内
「\(m-n\quad\neg{\rm I}\)」
――これは「mマイナスn」という意味ではなく、「mからn」という意味のハイフンであることに注意。

●p191、第4講の練習問題2の解答
「最初の節は第2の節に吸収できるので」
――正確には、「最初の節」と「第2節∨第4節」が同値ゆえ最初の節が落とせる。

●p191、第5講の練習問題3の解答
「たとえば,2行目と3行目の適用の順序を変えれば」
――実際には2行目と3行目の適用順序が変わっただけでなく、2行目を適用して得られる枝を書き尽くしてから3行目の処理に移っているという違いもあることに注意。

●p202、下から10行目および下から4行目
――閉じ括弧を欠いている。