※新型コロナウイルス云々により、メダカレ自主ゼミは中止しております。メダカカレッジは現在「メダカレ自主ゼミ」を開講しています。場所・日時：大阪心斎橋のレンタルスペース『funlabo』にて、原則として毎週水曜日13:30～15:30に開講。www.instabase.jp…

『キューネン数学基礎論講義』における和集合公理の流儀につまづいたので、メモしておく。p14に示された和集合公理の論理式は \[\forall\mathcal{F}\exists A\forall Y\forall x[x\in Y\in\mathcal{F}\rightarrow x\in A]\]というものである（少し記法を変え…

集合\(X\)の部分集合族\(\mathscr{B}\)が「補集合をとる操作」と「有限個（ゼロ個でもよい）の合併をとる操作」について閉じているとき、\(\mathscr{B}\)は\(X\)上の有限加法族であるという。さらに\(\mathscr{B}\)が「可算個の合併をとる操作」についても閉…

公式サイト（解答例・正誤表） http://komoriyuichi.web.fc2.com/gendaisuurironrigaku/p80「公理型B,C,K,W,L3,N」 ――L3やNは本書で言及がないが、著者の実施した試験問題には登場している。 http://komoriyuichi.web.fc2.com/jyugyou/zyouhou4.pdf

\(K^n\)の標準基底を\(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\ldots,\vec{e}_n\)とする。 \(K^n\)から\(K\)への線形写像全体のなす集合を\({\rm Hom}(K^n,K)\)とする。以下の写像\(f,g\)が互いの逆写像であることを示す： \(f:\fbox{$\begin{array}{ccc}M_{1n}(K)&\to&{\rm H…

（※内輪向けのメモ書きです。） ●定理1.4.7（LKの完全性定理）の証明について：「2.\(\Theta\)に\(\supset\)が現れるとき」の (1)\(f(\alpha\supset\beta)=f(\alpha)\supset f(\beta)=\top\supset\bot=\bot\) (2)\(f\)は\(\Gamma\rightarrow\Theta\)の反駁に…

（※内輪向けのメモ書きです。）以下、真偽値を\(1\)（真）・\(0\)（偽）で書くことがあります。●問題1.4.1（\(\neg,\wedge,\leftrightarrow\)の真理表を作れ）について： 我々はこれらの真理表を常識的に知ってしまっているので見過ごしがちですが、本書にお…

『群論への第一歩 集合、写像から準同型定理まで』結城浩 @hyuki 著、SBクリエイティブ群論への第一歩 集合、写像から準同型定理まで作者:結城 浩SBクリエイティブAmazon『数学ガールの物理ノート 数を作ろう』結城浩 @hyuki 著、SBクリエイティブ数学ガール…

【命題】\(\mathcal{G}\)は集合族であり、\(\mathcal{H}\subseteq\mathcal{G}\)とする。このとき\[\left(\sum\mathcal{G}\right)\backslash\left(\sum\mathcal{H}\right)\subseteq\sum(\mathcal{G}\backslash\mathcal{H})\]が成り立つ。 （証明）\(x\in\left…

・\(\bigcup_{X\in\mathcal{H}}X\)のことを単に\(\bigcup\mathcal{H}\)と書くのと同様に、直和についても\(\sum_{X\in\mathcal{H}}X\)のことを単に\(\sum\mathcal{H}\)と書くことにする。 ・空集合はゼロ個の集合の和集合と考え、「\(\mathcal{G}\cup\{\varn…

\[\cup\mathcal{A}\]と\[\bigcup_{X\in \mathcal{A}}X\]が同じ意味なんだよな。てことは\(\cup\mathcal{A}\)のことを\bigcupで\(\bigcup\mathcal{A}\)とは書かないほうがいいのか。 で、\[\mathcal{A}=\bigcup_{X\in\mathcal{A}}\{X\}\]なんだよな。それはど…

\(\underline{s}_n(f)\leq\underline{s}_{n+1}(f)\)の部分の証明。\[\Lambda=\bigsqcup_{K_n} I_{n,k}\]である。ただし\(K_n\)は\( (-l/2)2^n\leq k_j

吉田伸生『ルベーグ積分入門』 （遊星社）p8脚注4から本文の不等式を導いてみた。定義域\(\mathbb{R}^d\)の全体にわたって\[-M\cdot1_\Lambda\leq f\leq M\cdot1_\Lambda\]が成り立っている（\(\Lambda\)外では\(0\leq0\leq0\)）から、任意の\(I_{n,k}\)につ…

（内輪向けのメモです。）選択公理のステートメントの流儀（１）「非交叉族・選択集合」流と（２）「族・選択関数」流とが同値であることを示す。●（２）→（１）の証明： 空集合を持たず、どの2要素（集合）も交わらない族\(\mathcal{F}\)を任意にとり、その…

内田伏一『集合と位相』p117〜p118を参考に、チコノフの定理の証明を整理した。【定理】（チコノフの定理）位相空間系\( ( (X_\lambda,\mathscr{O}_\lambda)\mid\lambda\in\Lambda)\)の積空間を\( (Y,\mathscr{O})\)とする。すべての因子空間\( (X_\lambda,\…

\(\mathbb{R}\)の有界閉集合はコンパクトであることを、閉集合の交叉性の流儀によるコンパクト性の定義を用いて証明する。（証明）\(A\)を\(\mathbb{R}\)の有界閉集合とする。部分空間\(A\)における閉集合の族\(\{F_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\)が有限交…

正の実数全体の集合を\(\mathbb{R}^+\)と書く。\(0 単射ゆえ、終域を\(f\)の値域\(f[\mathbb{R}^+]\)に制限すれば逆関数\(f^{-1}:f[\mathbb{R}^+]\to\mathbb{R}^+\)を考えることができる。実際には\(f\)は連続関数であり、また\(f[\mathbb{R}^+]=\mathbb{R}^…

まず、位相和に無関係に一般的に成り立つ予備知識を切り出して納得しておきます。・予備知識(1) 写像\(f:X\to Y\)の終域\(Y\)の部分集合\(V\)の逆像\(f^{-1}[V]\)を考えます。逆像一般の理解として、「写像の値域外の要素は、\(V\)に属していてもいなくても…

【定義】台集合\(X\)の部分集合族\(\mathcal{C}\)に対し、\[\mathcal{C}の要素の和集合（無限個でもよい）で表されるもの全体\]を\(\check{\mathcal{C}}\)と書く。また\[\mathcal{C}の要素の有限個の共通部分で表されるもの全体\]を\(\hat{\mathcal{C}}\)と…

新井仁之『ルベーグ積分講義』p322、問題14.4の解答後半（連続性をいう箇所）を一般的に書き直したら、有名な定理に帰着された。以下において\(X\)を\([0,1]\)、\(Y\)を\([0,l]\)、\(l^{-1}\)を\(\tau\)、\(l^{-1}(s_n)\)を\(t_n\)と読み替えれば、教科書の…

話題の依存関係は「(2)(3)と(4)は独立しており、ともに(1)に依存する。(5)はどの話とも独立している」です。・(1)→(2)(3) ・(1)→(4) ・(5)(1)： 包含写像と相対位相の関係を整理しておきます。準備として、包含写像による逆像が一般的にどう書かれるのか、念…

●命題2.13.4（連続性の言い換え）の証明は、下記のように、もとの定義(1)を、(2)を経由して(3)に書き換える、と考えると見通しがよくなります。ただし、\(X\triangleright x\)は「\(X\)は\(x\)の近傍である」（\(X\in\mathcal{U}(x)\)）を意味します。(1)\(\…

【問題】距離空間における部分集合\(K,L\)が、次の条件を満たしている。 ・\(K\)は点列コンパクトである。 ・\(d(K,L)=0\)である。 このとき、\(K\)と\({\rm Cl}(L)\)は交わることを示せ。（証明）\(d(K,L)=0\)から、任意の\(\epsilon > 0\)に対し、開球\(B(…

新井仁之『ルベーグ積分講義』（日本評論社）p190~p192の議論を書き直したもの。\(\triangle{\rm ABC}=T\)に対して、操作(I)を施すことにより重なりの生じる部分（五角形\({\rm PQM'MR}\)）を\(\Omega(T)\)とし、その面積を求める。\(\triangle{\rm QAM'}\)…

（※内輪向けのメモ書きです。） 1. \(\Delta_0\)論理式の概念について \(\Delta_0\)論理式自体は文字列としての論理式の「見た目」に依存する概念であって、互いに同値な論理式の一方が\(\Delta_0\)だが他方は\(\Delta_0\)でない、ということは珍しくありま…

高崎金久『学んでみよう！記号論理』（日本評論社）の正誤表 学んでみよう！記号論理 に未収録の誤りや補足など。●p49、図1の(5) ――規則(f)を適用して直接得られるのは￢￢aと￢￢c。厳密にはこれに(h)を適用して初めてaとcを得るが、省略されている。p192の…

注意：以下において「論理式\(\psi\)の自由変数\(x\)に項\(t\)を代入する」とは、「\(\psi\)が\(x\)を自由変数として持つならば\(t\)を代入し、持たないならば何もしない」という意味であるとする。閉論理式\(\varphi\)に登場するもの以外の変数を持たない、…

\(\Sigma,\Theta\)を語彙\(\mathcal{L}\)の文の集合とする。次の(1)が任意の\(\Sigma\)で成り立つことと、(2)が任意の\(\Theta\)で成り立つことは同値。 (1)\(\Sigma\)のすべての有限部分集合がそれぞれモデルを持つとき、\(\Sigma\)もモデルを持つ。 (2)\(\…

\(\forall n\in\mathbb{N}[n\notin n]\)を、原始的な数学的帰納法のみを用いて示す。以下、\(n'\)は\({\rm Suc}(n)=n\cup\{n\}\)を意味する。 \(\beta(n):\forall k\in n'[k\notin k]\)と置くと、\(n\in n'\)により、各\(\beta(n)\)は\(n\notin n\)を含意す…

上限の定義に登場した、\[\forall y\in X[yはAの上界である\rightarrow a\leq y]\]と\[\forall x\in X[x ・「\(x\)は\(A\)の上界でない」は\(\exists b\in A[\neg b\leq x]\)だが、この\(\neg b\leq x\)を\(x ・\(a\leq x\)と\(x のは、「全順序で考えている…