正項等比数列a_nのn乗根は公比に収束する

正項等比数列\(\{a_n\}\)に対して\(\sqrt[n]{a_n}\)を考えると、これは\(n\to\infty\)で公比に収束する。そのイメージ。

\[3,6,12,24,48,96,192,\cdots\]

初項がいくらであっても、\(a_n\)から公比のn乗を引っ張り出して来ることができる。

\[\frac{3}{2}\times2^1,\quad\frac{3}{2}\times2^2,\quad\frac{3}{2}\times2^3,\quad\frac{3}{2}\times2^4,\quad\cdots\]

こう書いたうえでn乗根をとると

\[\left(\frac{3}{2}\right)^\frac{1}{1}\times 2,\quad\left(\frac{3}{2}\right)^\frac{1}{2}\times 2,\quad\left(\frac{3}{2}\right)^\frac{1}{3}\times 2,\quad\left(\frac{3}{2}\right)^\frac{1}{4}\times 2,\quad\cdots\]

頭の\(\left(\frac{3}{2}\right)^\frac{1}{n}\)は\(n\to\infty\)で\(1\)に収束する。