サイコロを6回振って1の目が出る回数の期待値が1回であることはよく知られている。では、1の目が出るまでサイコロを振り続けたとき、その回数の期待値はいくらか？一般に、1回試行において確率p(≠0)で起こる事象が初めて起こるまで反復試行を行なったとき、その試行回数の期待値はいくらか？
その事象がk回目に初めて起こる確率は\((1-p)^{k -1}p\)だから、求めたい期待値は\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nk(1-p)^{k -1}p\]
で与えられる。有限和の部分を\(S_n\)と書けば
\[S_n=1\cdot p+2(1-p)p+3(1-p)^2p+\cdots+n(1-p)^{n-1}p\]
であり、\((1-p)S_n\)を考えると
\[(1-p)S_n=1(1-p)p+2(1-p)^2p+\cdots+(n-1)(1-p)^{n-1}p+n(1-p)^np\]
辺々差し引いてpで割れば
\[S_n=1+(1-p)+(1-p)^2+\cdots+(1-p)^{n-1}-n(1-p)^n\]
\[=\frac{1[1-(1-p)^n]}{1-(1-p)}-n(1-p)^n\]
これは\(n\to\infty\)で1/pに収束する。したがって、1の目が出るまでサイコロを振り続けるとき、平均で6回振ることになる。
