2項分布\(B(n,p)\)に従う確率変数の期待値。\(1-p\)を\(q\)と書くことにする。
\(n=3\)のとき
\(3\cdot{_3C_3}\cdot p^3+2\cdot{_3C_2}\cdot p^2q+1\cdot{_3C_1}\cdot pq^2+0\cdot{_3C_0}\cdot q^3\)
\(=3\cdot 1\cdot p^3+2\cdot 3\cdot p^2q+1\cdot 3\cdot pq^2+0\cdot 1\cdot q^3\)
\(=3p^3+6p^2q+3pq^2\)
\(=3p(p^2+2pq+q^2)\)
\(=3p(p+q)^2\)
いま\(p+q=1\)であるので、この期待値は\(3p\)となる。
\(n=4\)のとき
\(4\cdot{_4C_4}\cdot p^4+3\cdot{_4C_3}\cdot p^3q+2\cdot{_4C_2}\cdot p^2q^2+1\cdot{_4C_1}\cdot pq^3+0\cdot{_4C_0}\cdot q^4\)
\(=4\cdot 1\cdot p^4+3\cdot 4\cdot p^3q+2\cdot 6\cdot p^2q^2+1\cdot 4\cdot pq^3+0\cdot 1\cdot q^4\)
\(=4p^4+12p^3q+12p^2q^2+4pq^3\)
\(=4p(p^3+3p^2q+3pq^2+q^3)\)
\(=4p(p+q)^3\)
いま\(p+q=1\)であるので、この期待値は\(4p\)となる。
以上から容易に推測できるように、実は任意の\(n\)に対して期待値は\(np\)であることが示される。
一般的な導出は、例えば http://racco.mikeneko.jp/Kougi/07a/IS/IS05suppr.pdf を参照。
