\(xy\)平面上のベクトル場\(\vec{v}(x,y)=(v_x(x,y),v_y(x,y))\)と、閉曲線\(\partial D\)に囲まれた領域\(D\)を考える。\(\partial D\)の微小線素の法線ベクトルで、\(D\)の外側を向き、線素の長さに等しい大きさを持つものを\(d\vec{L}\)と書く。
\(\partial D\)は、\(x\)軸に平行な直線とも、\(y\)軸に平行な直線とも、高々2回しか交わらないとし、この制限のもとでガウスの発散定理\[\int_D(\mbox{div}\ \vec{v})dD=\int_{\partial D}\vec{v}\cdot d\vec{L}\tag{*}\]の平面版を示す。いろいろ暗黙に認めた事柄を使うため、厳密な証明にはなっていない。
\(\partial D\)には左・右・下・上の4つの端点が存在するので、順に\(P,Q,R,S\)と名付け、\(P,Q\)の\(x\)座標をそれぞれ\(x_P,x_Q\)、\(R,S\)の\(y\)座標をそれぞれ\(y_R,y_S\)とする。すなわち、これらは\(\partial D\)に属す点の\(x\)座標・\(y\)座標の最小値・最大値である。
\(R,S\)を境に、\(\partial D\)を左（\(P\)のある側）と右（\(Q\)のある側）に分け、前者の方程式を\(x=p(y)\)、後者を\(x=q(y)\)とする。また\(P,Q\)を境に\(\partial D\)を下（\(R\)の側）と上（\(S\)の側）に分け、それぞれ\(y=r(x), y=s(x)\)とする。
(*)の両辺をそれぞれ計算する。まず左辺は
\[\int_D(\mbox{div}\ \vec{v})dD=\int_D\frac{\partial v_x}{\partial x}dD+\int_D\frac{\partial v_y}{\partial y}dD\]\[=\int_{y_R}^{y_S}\left(\int_{p(y)}^{q(y)}\frac{\partial v_x}{\partial x}dx\right)dy+\int_{x_P}^{x_Q}\left(\int_{r(x)}^{s(x)}\frac{\partial v_y}{\partial y}dy\right)dx\]\[=\int_{y_R}^{y_S}[v_x(q(y),y)-v_x(p(y),y)]dy+\int_{x_P}^{x_Q}[v_y(x,s(x))-v_y(x,r(x))]dx\]
となる。いっぽう右辺は\[\int_{\partial D}\vec{v}\cdot d\vec{L}=\int_{\partial D}v_x(d\vec{L})_x+\int_{\partial D}v_y(d\vec{L})_y\]\[=\left(\int_{R\rightarrow P\rightarrow S}v_x(d\vec{L})_x+\int_{R\rightarrow Q\rightarrow S}v_x(d\vec{L})_x\right)+\left(\int_{P\rightarrow R\rightarrow Q}v_y(d\vec{L})_y+\int_{P\rightarrow S\rightarrow Q}v_y(d\vec{L})_y\right)\]\[=\left(\int_{y_R}^{y_S}v_x(p(y),y)(-dy)+\int_{y_R}^{y_S}v_x(q(y),y)dy\right)+\left(\int_{x_P}^{x_Q}v_y(x,r(x))(-dx)+\int_{x_P}^{x_Q}v_y(x,s(x))dx\right)\]\[=\int_{y_R}^{y_S}[v_x(q(y),y)-v_x(p(y),y)]dy+\int_{x_P}^{x_Q}[v_y(x,s(x))-v_y(x,r(x))]dx\]となり、左辺と一致した。■
