距離空間\((X,d)\)において、「点\(a\in X\)は集合\(M\subset X\)の内点である」とは「\(U(a,\epsilon)=\{x\in X|d(a,x) < \epsilon\}\subset M\)を満たす\(\epsilon > 0\)が存在する」ことと定義し、自己の内点のみからなる集合を「開集合」と呼ぶことにする。集合\(M\)の内点全体の集合（\(M\)の開核）を\(M^o\)で表す。
【定理】任意の集合\(M\subset X\)について、\(M^o\)は開集合である。
（証明）\(M^o\)の任意の点（すなわち\(M\)の任意の内点）が\(M^o\)の内点であることを示せばよい。
\(a\)が\(M\)の内点であると仮定し、\(U(a,\epsilon_0)\subset M\)を満たす\(\epsilon_0 > 0\)をひとつとる。
任意の\(b\in U(a,\epsilon_0)\)をとり、\(\epsilon'=\epsilon_0-d(a,b)( > 0)\)とおく。
さらに任意の\(c\in U(b,\epsilon')\)をとれば\(d(a,c)\leq d(a,b)+d(b,c) < d(a,b)+\epsilon'=\epsilon_0\)が成り立つから、\(c\in U(a,\epsilon_0)\)である。
したがって\(U(b,\epsilon')\subset U(a,\epsilon_0)\subset M\)ゆえ\(b\)は\(M\)の内点である。
以上により\(U(a,\epsilon_0)\subset M^o\)であり、すると\(a\)は\(M^o\)の内点である。■
