アルキメデス的順序体は可換である

【定理】順序体\(F\)がアルキメデス的であるとき、\(F\)は可換である。

(証明)\(F\)の任意の要素\(a,b\)をとる。\(F\)のアルキメデス性から、任意の\(\epsilon > 0\)に対して正の整数\(M, N\)が存在して、\(|a| < M\epsilon, |b| < N\epsilon\)となるようにできる。\(M,N\)の最小値をそれぞれ\(m,n\)とすると\[0\leq(m -1)\epsilon\leq|a| < m\epsilon,\\0\leq(n-1)\epsilon\leq|b| < n\epsilon\]が成り立つ。すると辺々を乗じることにより*1 \(|ab|\)も\(|ba|\)も\((m -1)(n-1)\epsilon^2\)以上\(mn\epsilon^2\)未満となるので
\[|ab-ba|\leq\left||ab|-|ba|\right|\\ < mn\epsilon^2-(m -1)(n-1)\epsilon^2=(m+n-1)\epsilon\cdot\epsilon\leq(|a|+|b|+\epsilon)\epsilon\]である。いま\(|ab-ba| > 0\)と仮定すると、\(\epsilon < 1\)かつ\(\epsilon < |ab-ba|/(|a|+|b|+1)\)を満たすように\(\epsilon > 0\)をとることができるから、\(|ab-ba| < (|a|+|b|+1)\epsilon < |ab-ba|\)となって矛盾する。よって\(|ab-ba|=0\)、すなわち\(ab=ba\)である。■

*1: 正の整数である\(m,n\)と\(F\)の元の乗法については可換であることに注意。