Rにおける「コンパクト」と「有界閉」の同値性

\(\bf R\)において、「コンパクト集合であること」と「有界閉集合であること」とは同値であることを示す。ここではあえて、一般的な定理をできるだけ使わずに証明する。

(コンパクト⇒有界かつ閉)
\(C\)を\(\bf R\)におけるコンパクト集合とする。まず有界性を示す。\(\{(-n,n):n\in {\bf N}\}\)は\(C\)の開被覆となるので、有限個を選んで\(C\)を覆うことができる。そのうち右端の最大のものを\( (-m,m)\)とすれば\(C\)はこれに含まれ、上界\(m\)と下界\(-m\)を持つ。
次に\(C\)が\(\bf R\)の閉集合であることを示す。\(C\)の補集合\({\bf R}-C\)の任意の要素\(a\)をとる。\(C\)の各要素\(x\)に対して\(\epsilon(x)=|a-x|/2\)とすれば、\(\epsilon(x) > 0\)であり、\( (x-\epsilon(x),x+\epsilon(x))\cap(a-\epsilon(x),a+\epsilon(x))=\varnothing\)となる。\(\{(x-\epsilon(x),x+\epsilon(x)):x\in C\}\)は集合\(C\)の開被覆であるので、この中から有限個の\( (x_i-\epsilon(x_i),x_i+\epsilon(x_i))\ (i=1,2,\ldots n)\)を適切に選んで\(V\)をその和集合とすれば\(C\subset V\)となる。いっぽう\(\epsilon(x_i)\ (i=1,2,\ldots n)\)の最小値を\(p\)とすれば\(V\cap(a-p,a+p)=\varnothing\)、したがって\( (a-p,a+p)\subset{\bf R}-C\)。以上により\({\bf R}-C\)は\(\bf R\)の開集合であるから、\(C\)は閉集合である。■

有界かつ閉⇒コンパクト)
\(C\)は\(\bf R\)において有界かつ閉集合であるとする。集合族\(\mathcal U\)を\(C\)の開被覆とし、その有限個の要素を選んで\(C\)を覆うことはできないと仮定して矛盾を導く。\(C\)は有界であるので、\(C\subset[a,b]\)となる閉区間が存在する。\([a,b]\)を半分に分けて\([a,(a+b)/2],[(a+b)/2,b]\)を考え、\(C\)との共通部分をそれぞれ\(C_{\rm left},C_{\rm right}\)とすれば\(C=C_{\rm left}\cup C_{\rm right}\)である。したがって\(C_{\rm left},C_{\rm right}\)のうち少なくとも一方は\(\mathcal U\)から有限個を選んで覆うことができない。覆えないほうを包含する閉区間を\([a_1,b_1]\)とし、同じ操作を繰り返すと、区間縮小列\([a,b]\supset[a_1,b_1]\supset\cdots\supset[a_n,b_n]\supset\cdots\)ができ、どの\(n\)に対しても\(C\cap[a_n,b_n]\)は\(\mathcal U\)の有限個の要素で覆えない。いっぽうCantorの共通部分定理により、これらの区間のすべてに属す要素\(p\)が存在する。(i)\(p\in C\)のとき:\(p\in V\in{\mathcal U}\)なる開集合\(V\)が存在するが、じゅうぶん大きな\(n\)をとれば\([a_n,b_n]\subset V\)となるようにすることができる。そのためには\( (p-\epsilon,p+\epsilon)\subset V\)を満たす\(\epsilon > 0\)をとり、\([a_n,b_n]\)の幅\((b-a)/2^n\)が\(\epsilon\)より小さくなるように\(n\)をとればよい。そのような\(n\)がとれることは\(\bf R\)のArchimedes性により保証される。(ii)\(p\notin C\)のとき:\(C\)は\(\bf R\)の閉集合なので\({\bf R}-C\)は開集合であり、(i)と同様の方法でじゅうぶん大きな\(n\)をとれば\([a_n,b_n]\subset{\bf R}-C\)となるようにすることができる。(i)(ii)のいずれにせよ、\(C\cap[a_n,b_n]\)が\(\mathcal U\)の有限個の要素で覆えないことに矛盾する。■