【問】二つの集合系\(A_i(i\in I),B_i(i\in I)\)において、\(I\)の元\(i\)のいかんにかかわらず\(|A_i|=|B_i|\)が成立するならば、\(|\prod_{i\in I}A_i|=|\prod_{i\in I}B_i|\)であることを示せ。
【解答】各\(i\in I\)に対し全単射\(\varphi_i:A_i\to B_i\)をひとつずつ選んでおく。任意の\(f\in\prod_{i\in I}A_i\)をとり、\(I\to \bigcup_{i\in I}B_i;\ i\mapsto\varphi_i\cdot f(i)\)なる写像を考えれば、すべての\(i\in I\)について\(\varphi_i\cdot f(i)\in B_i\)となるので、この写像は\(\prod_{i\in I}B_i\)に属す。そこで、写像\[h:\prod_{i\in I}A_i\to\prod_{i\in I}B_i;\quad\left(i\mapsto f(i)\right)\mapsto\left(i\mapsto\varphi_i\cdot f(i)\right)\]を考え、これが全単射であることを示す。
\(h\)が単射であること：\(h(f)=h(f')\)（\(f, f'\in\prod_{i\in I}A_i\)）と仮定すると、すべての\(i\in I\)について\(\varphi_i\cdot f(i)=\varphi_i\cdot f'(i)\)が成り立つ。\(i\)をひとつ固定したうえで\(\varphi_i^{-1}\)によって両辺を移せば\(f(i)=f'(i)\)。これがすべての\(i\in I\)で成り立つから\(f=f'\)である。
\(h\)が全射であること：任意の\(g\in\prod_{i\in I}B_i\)をとり、\(f:I\to \bigcup_{i\in I}A_i;\ i\mapsto\varphi_i^{-1}\cdot g(i)\)なる写像を考えれば、すべての\(i\in I\)について\(\varphi_i^{-1}\cdot g(i)\in A_i\)となることから\(f\in\prod_{i\in I}A_i\)である。この\(f\)に対し\(h(f)\)を考えると、\(i\mapsto \varphi_i\cdot\varphi_i^{-1}\cdot g(i)=g(i)\)という写像になる。したがって\(h(f)=g\)である。
