【問】\(\alpha < \beta < \alpha+1\)を満たす順序数\(\alpha,\beta\)は存在しないことを示せ。
【解答】\(\langle A\rangle=\alpha,\langle B\rangle=\beta\)なる整列集合\(A,B\)をひとつずつとり、\(A\)の末尾に元\(z\)をひとつ付け加えた整列集合を\(A^+\)とすると\(\langle A^+\rangle=\alpha+1\)である。
\(\alpha < \beta < \alpha+1\)と仮定し、\(A\simeq B(x)\)なる\(x\in B\)、および\(B\simeq A^+(y)\)なる\(y\in A^+\)をとる。\(B\)から\(A^+(y)\)への順序同型写像のひとつを\(\varphi\)とし、\(\varphi(x) < y\)に注意すれば、\(A^+(z)=A\simeq B(x)\simeq A^+(y)(\varphi(x))=A^+(\varphi(x))\)、したがって\(z=\varphi(x) < y\)となる。これは\(z\)が\(A^+\)の末尾の元であることに矛盾する。■
