前エントリの補題アの証明を、整列集合の比較に関する性質を用いて書き直す。これにより、同値類を導入する必要もなくなる。前回と同様の箇所で超限帰納法を用いているが、これも最小原理で書き直すことができる。以下、変更点を赤色で示す。
\( (X, < )\)を任意の空でない半順序集合とする。
\(X\)の元\(x\)と\(X\)の鎖\(C\)について、「\(x\notin C\)かつ\(x\)は\(X\)における\(C\)の上界である」、あるいは同じことであるが「任意の\(c\in C\)について\(c < x\)が成り立つ」ことを「\(x\)は\(C\)の外部上界である」と言うことにする。鎖\(C\)のすべての外部上界の集合を\(U_C\)と表す。特に\(U_\varnothing=X\)である。
鎖\(C\)が外部上界を持たないとき、\(C\)は上界を全く持たないか、または自身のうちに唯一の上界\(m\)を（最大元として）持っている。後者のとき\(m\)は\(X\)の極大元となる。そこで、このような「外部上界を持たない鎖」を選択公理のもとで構成すれば、Zornの補題が導かれたことになる。
選択公理のもとで、\(X\)の鎖\(C
\)で\(U_C\neq\varnothing\)を満たすものの各々に対し、その外部上界を一つ選ぶ関数\(f\)をとることができる。
\(X\)の部分集合であるような整列集合\(W\)とその元\(w\)に対し、\(\{x|x\in W\wedge x < w\}\)を「\(W\)の\(w\)による始切片」と呼び、\(s_{W}(w)\)で表す。これは\(w\)を外部上界とする鎖になる。
\(X\)の部分集合\(A\)に対し、「\(A\)は\(f\)継続的である」とは、「\( (A, < )\)は整列集合であり、かつ任意の\(a\in A\)に対し\(a=f(s_A(a))\)が成り立つ」ことと定める。整列集合の最小元による始切片は空集合となるから、\(f\)継続的集合は\(f(\varnothing)\)を最小元として持つ。
すべての\(f\)継続的な集合の和集合を\(G\)とすれば、実はこれが所望していた「外部上界を持たない鎖」となるのである。これを示すには、\(G\)自身が\(f\)継続的であることを示せばよい。なぜなら、もし\(G\)が\(f\)継続的でしかも外部上界を持つならば、\(G\)に\(f(G)\notin G\)を付け加えた集合も\(f\)継続的となってしまい、\(G\)の定義に反するからである。そこで、\(f\)継続的な集合の性質として、次の補題を示しておく。
【補題ア】\(F_1, F_2\)がともに\(f\)継続的であるとき、(1)\(F_1=F_2\)、(2)\(F_2\)は\(F_1\)の始切片である、(3)\(F_1\)は\(F_2\)の始切片である、のいずれかが成り立つ。
【証明】\(F_1,F_2\)はともに整列集合だから、(1')\(F_1\)と\(F_2\)は順序同型、(2')\(F_2\)は\(F_1\)の始切片と順序同型、(3')\(F_1\)は\(F_2\)の始切片と順序同型、のいずれかが成り立つ。
(1')のとき：\(F_1\)から\(F_2\)への順序同型写像\(\varphi\)をとり、任意の\(a\in F_1\)について\(\varphi(a)=a\)であることを示すことにより、上記(1)の\(F_1=F_2\)を導く。超限帰納法を用いて、\(a\in F_1\)かつ「任意の\(x\in s_{F_1}(a)\)について\(\varphi(x)=x\)」と仮定し、\(\varphi(a)=a\)を導く。\(F_1,F_2\)の\(f\)継続性に注意すると、\(s_{F_2}(\varphi(a))=s_{F_1}(a)\)を示せばよいことが分かる。\(y\in s_{F_1}(a)\)と仮定すると、帰納法の仮定と\(\varphi\)が順序を保つことから\(y=\varphi(y) < \varphi(a)\)、したがって\(y\in s_{F_2}(\varphi(a))\)。逆に\(y\in s_{F_2}(\varphi(a))\)と仮定すると、\(\varphi^{-1}\)が順序を保つことから\(\varphi^{-1}(y)\in s_{F_1}(a)\)、すると帰納法の仮定から\(y=\varphi^{-1}(y)\)、ゆえに\(y\in s_{F_1}(a)\)。
(2')・(3')のときも全く同様にして、それぞれ(2)・(3)の成り立つことが示される。■
この補題アから、\(G\)に関する次の補題が得られる。
【補題イ】任意の\(g\in G\)と、\(g\)を要素に持つ任意の\(f\)継続的集合\(F_1\)について、\(G\)の要素で\(g\)より小さいものは全て\(F_1\)に属す。
（証明）\(h\in G\)かつ\(h < g\)と仮定する。\(h\in F_2\)なる\(f\)継続的集合\(F_2\)がとれるが、補題アの(1)または(2)のときは\(F_2\subseteq F_1\)から\(h\in F_1\)となる。(3)のときは\(d\in F_2\)を用いて\(F_1=s_{F_2}(d)\)と書くことができ、\(g\in F_1\)から\(g < d\)である。すると\(h < g < d\)であるので\(h\in s_{F_2}(d)\)すなわち\(h\in F_1\)を得る。■
補題ア・イを用いて次の定理を示し、証明を完成する。
【定理】\(G\)は\(f\)継続的である。
（証明）(A)\(G\)は整列集合であること：まず\(G\)は\(X\)の鎖であることを示す。任意の\(x,y\in G\)について、\(x\in F_1, y\in F_2\)なる\(f\)継続的集合\(F_1,F_2\)が存在し、補題アから\(F_1,F_2\)の少なくとも一方は他方を包含する。したがって\(x,y\)は同一の鎖に属すから比較可能である。
次に、\(G\)の任意の空でない部分集合\(B\)が最小元を持つことを示す。\(B\)の元\(b\)をひとつとり、\(b\in G\)を要素に持つ\(f\)継続的集合のひとつを\(F\)とする。すると\(F\cap B\)は空でないから最小元\(b_0\)を持つ。この\(b_0\in B\)が\(B\)の最小元でもあることを示す。鎖\(G\)の部分集合である\(B\)も鎖なので、\(B\)が\(b_0\)よりも小さい元を排除できていればよい。そこで、\(h < b_0\)なる任意の\(h\in X\)をとり、\(h\notin B\)を示す。\(h\notin G\)のとき、ただちに\(h\notin B\)を得る。\(h\in G\)のときは補題イにより\(h\in F\)であるが、いっぽう\(b_0\)の最小性から\(h\notin F\cap B\)、したがって\(h\notin B\)である。
(B)任意の\(a\in G\)に対し\(a=f(s_G(a))\)が成り立つこと：\(a\)の属す\(f\)継続的集合\(F\)をとると、補題イにより\(s_G(a)\subseteq s_F(a)\)である。この逆の包含も\(F\subseteq G\)から成り立つので\(s_G(a)=s_F(a)\)であり、したがって\(f(s_G(a))=f(s_F(a))\)である。すると\(F\)の\(f\)継続性から右辺は\(a\)に等しい。■
