【定理】連続関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\)が\(x_0\in\mathbb{R}\)以外の点で微分可能であり、\(\displaystyle\lim_{h\to0}f'(x_0+h)=\alpha\)（有限確定値）であるとする。このとき、\(f\)は\(x_0\)においても微分可能であり、\(f'(x_0)=\alpha\)である。
【証明】任意の\(\epsilon > 0\)をとると、\[0 < |h| < \delta\Rightarrow|f'(x_0 + h)-\alpha| < \epsilon\tag{*}\]を満たす\(\delta > 0\)がとれる。\(0 < s < \delta\)とする。\(f\)は\([x_0,x_0+s]\)で連続、\( (x_0,x_0+s)\)で微分可能だから、平均値の定理により\[\frac{f(x_0+s)-f(x_0)}{s}=f'(x_0+h)\]なる\(0 < h < s\)が存在する。いま\(0 < |h| < \delta\)であるから\((*)\)により\[\left|\frac{f(x_0+s)-f(x_0)}{s}-\alpha\right| < \epsilon\]が成り立つ。以上により\[\lim_{s\to+0}\frac{f(x_0+s)-f(x_0)}{s}=\alpha\]である。
同様にして、\(f\)は\([x_0-s,x_0]\)で連続、\( (x_0-s,x_0)\)で微分可能だから\[\frac{f(x_0)-f(x_0-s)}{s}=f'(x_0-h)\]なる\(0 < h < s\)が存在し、\[\lim_{s\to+0}\frac{f(x_0)-f(x_0-s)}{s}=\alpha\]を得る。■
