\(x^x(x > 0)\)の導関数を、定義に従って求める。
\(M > 0\)とする。\(\displaystyle\frac{M^h-1}{h}=\frac{e^{h\ln M}-1}{h\ln M}\cdot\ln M\)より、\(\displaystyle\lim_{h\to0}M=\alpha\)のとき\(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{M^h-1}{h}=\ln\alpha\)である。
\(h\neq0\)のもと\[\frac{(x+h)^{x+h}-x^x}{h}=x^x\cdot\frac{[(1+\frac{h}{x})^\frac{x}{h}(x+h)]^h-1}{h}\]右辺の\([]\)内は\(h\to0\)で\(ex\)に収束するから、\(\displaystyle\frac{d}{dx}x^x=x^x\ln(ex)=x^x(1+\ln x)\)である。
