ベクトルの順序対を\( (v_1,v_2,v_3)\)などで表す。
【定理】\(S\)を体\(K\)上の線形空間とする。\(V=(v_1,v_2,v_3)\)が\(S\)を生成し、\(W=(w_1,w_2,w_3)\quad(w_1,w_2,w_3\in S)\)が線形独立であるとき、\(W\)は\(S\)を生成する（したがって\(W\)は\(S\)の基底をなす）。
（証明）\(V\)が\(S\)を生成することから、\[w_1=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3\quad(a_1,a_2,a_3\in K)\]と書ける。\(W\)は線形独立なので\(w_1\neq 0\)、したがって\(a_1,a_2,a_3\)のなかには\(0\)でないものが存在する。いま、そのひとつとして\(a_2\)を選ぶことができたとする。すると\[v_2=\left(-\frac{a_1}{a_2}\right)v_1+\frac{1}{a_2}w_1+\left(-\frac{a_3}{a_2}\right)v_3\]となるから、\( (v_1,w_1,v_3)\)は\(S\)を生成する。したがって\[w_2=b_1v_1+b_2w_1+b_3v_3\quad(b_1,b_2,b_3\in K)\]と書ける。\(W\)は線形独立なので、\(b_1,b_3\)のうち\(0\)でないものが存在する。いま、そのひとつとして\(b_3\)を選ぶことができたとする。すると\[v_3=\left(-\frac{b_1}{b_3}\right)v_1+\left(-\frac{b_2}{b_3}\right)w_1+\frac{1}{b_3}w_2\]となるから、\( (v_1,w_1,w_2)\)は\(S\)を生成する。したがって\[w_3=c_1v_1+c_2w_1+c_3w_2\quad(c_1,c_2,c_3\in K)\]と書ける。\(W\)は線形独立なので\(c_1\neq0\)、すると\[v_1=\frac{1}{c_1}w_3+\left(-\frac{c_2}{c_1}\right)w_1+\left(-\frac{c_3}{c_1}\right)w_2\]となるから、\( (w_3,w_1,w_2)\)は\(S\)を生成する。すなわち\(W\)は\(S\)を生成する。途中の\(0\)でない係数を選ぶ際に他のものを選んでも同様である。■
