【注意】このエントリは誤りを含んでいます。
ベクトルの順序対を\( (v_1,v_2,v_3)\)などで表し、それによって生成される部分空間を\(\langle v_1v_2v_3\rangle\)と書く。
【定理】\(S\)を体\(K\)上の線形空間とする。\(V=(v_1,v_2,\ldots,v_n)\)が\(S\)を生成し、\(W=(w_1,w_2,\ldots,w_n)\)が\(S\)において線形独立であるとき、\(V\)は\(S\)において線形独立であり、\(W\)は\(S\)を生成する。すなわち、\(V\)も\(W\)も\(S\)の基底をなす。
（証明）\(n=3\)の場合について示すが、一般の\(n\)に対しても全く同様に証明できる。\(V\)が\(S\)を生成することから、\[w_1=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3\quad(a_1,a_2,a_3\in K)\tag{*}\]と書ける。\(W\)の線形独立性から\(w_1\notin\langle w_2w_3\rangle\)ゆえ\(\langle w_2w_3\rangle\neq S\)、いっぽう\(\langle V\rangle=S\)だから、\(v_1,v_2,v_3\)の中には\(\langle w_2w_3\rangle\)に属さないものが少なくともひとつ存在する。いま、たとえば\(v_1,v_2\)がこれを満たし、\(v_3\)だけは\(\langle w_2w_3\rangle\)に属している場合を考える。\(v_3=\alpha w_2+\beta w_3\quad(\alpha,\beta\in K)\)とおけば、\( (*)\)は\[w_1=a_1v_1+a_2v_2+a_3(\alpha w_2+\beta w_3)\]となり、\(W\)の線形独立性から\(a_1\neq0\)または\(a_2\neq0\)である。たとえば\(a_2\neq0\)であったとすると、\( (*)\)を\(v_2\)について解くことができ、\[v_2=\left(-\frac{a_1}{a_2}\right)v_1+\frac{1}{a_2}w_1+\left(-\frac{a_3}{a_2}\right)v_3\]となるから、\( (v_1,w_1,v_3)\)は\(S\)を生成する。また\( (w_2,w_3)\)の線形独立性と\(v_2\notin\langle w_2w_3\rangle\)から、\( (v_2,w_2,w_3)\)は\(S\)において線形独立である。すなわち、生成系\(V\)と独立系\(W\)から、それぞれ\(v_2\)と\(w_1\)を選んで入れ替えても、やはりもとの生成／独立の性質を保つのである。ここでは\(w_1\)の交換相手としてたまたま\(v_2\)が適任である場合を考えたが、同様に考えることにより、このような\(w_1\)の交換相手は必ず見つかることが分かる。これを繰り返して、【追記】ここが誤っています。\(w_2,w_3\)の相手を選んで順次交換すれば、\(W\)は\(S\)を生成し、\(V\)は\(S\)において線形独立であることが示される。■
【系1】
(1)\(S\)がサイズ\(n\)の生成系を持つとき、\(S\)の独立系のサイズは\(n\)以下である。
(2)\(S\)がサイズ\(n\)の独立系を持つとき、\(S\)の生成系のサイズは\(n\)以上である。
（証明）(1)\(n\)個を超えるベクトルの組\(W^+\)は\(S\)において線形従属であることを示す。\(W^+\)の先頭から\(n\)個を切り出して\(W\)とする。\(W\)が線形従属ならば\(W^+\)も線形従属である。\(W\)が線形独立ならば上の定理により\(W\)は\(S\)を生成するから、そこにベクトルを追加した\(W^+\)は線形従属である。
(2)\(n\)個未満のベクトルの組\(V^-\)は\(S\)を生成しないことを示す。\(V^-\)に任意にベクトルを追加して\(n\)個にしたものを\(V\)とする。\(V\)が\(S\)を生成しないならば、\(V^-\)も生成しない。\(V\)が\(S\)を生成するならば、上の定理により\(V\)は\(S\)において線形独立であるから、そこからベクトルを取り除いた\(V^-\)は\(S\)を生成しない。■
【系2】\(S\)がサイズ\(n\)の基底を持つとする。このとき、\(S\)の任意の基底のサイズは\(n\)である。
（証明）\(S\)がサイズ\(m\)の基底を持つと仮定すると、系1(1)(2)により\(m\leq n\)かつ\(m\geq n\)、したがって\(m=n\)である。■
