【問題】体\(K\)上、\(n\)次元（\(n\)は1以上で有限）のベクトル空間\(V\)とその元\(\vec{x}\neq\vec{0},\vec{y}\)に対し、\(\vec{x}\)を\(\vec{y}\)にうつす線形写像\(V\to V\)を作れ。
【解答】\(V\)が\(n\)次元であることから、あるベクトルの組\(\vec{w_1},\vec{w_2},\ldots,\vec{w_n}\)が存在して、任意の\(\vec{v}\in V\)について、その各々に対し\(\displaystyle\vec{v}=\sum_{i=1}^n\alpha_i\vec{w_i}\)なる\(\alpha_i\in K\)の組が一意に定まる。このようなベクトルの組（すなわち基底）をひとつとって固定しておき、\(\vec{v}\)をこの基底で上のように表したときの各\(\alpha_i\)を\(\alpha_i(\vec{v})\)と書くことにする。任意の\(\vec{u},\vec{v}\in V\)および\(a,b\in K\)に対して、\(a\vec{u}+b\vec{v}\)は\(\displaystyle\sum_{i=1}^n\alpha_i(a\vec{u}+b\vec{v})\vec{w_i}\)とも\(\displaystyle a\sum_{i=1}^n\alpha_i(\vec{u})\vec{w_i}+b\sum_{i=1}^n\alpha_i(\vec{v})\vec{w_i}\)とも書くことができ、後者は\(\displaystyle\sum_{i=1}^n[a\alpha_i(\vec{u})+b\alpha_i(\vec{v})]\vec{w_i}\)とまとめられるから、係数の一意性により各\(\alpha_i(\cdot)\)は\(V\)から\(K\)への線形写像である。
\(\vec{x}\neq\vec{0}\)から、\(\alpha_i(\vec{x})\neq0\)を満たす\(i\)（\(1\leq i\leq n\)）が少なくともひとつ存在するので、そのような\(i\)を任意に選んで\(p\)とする。写像\[V\to V;\ \vec{v}\mapsto\frac{\alpha_p(\vec{v})}{\alpha_p(\vec{x})}\vec{y}\]は線形写像であり、\(\vec{x}\)を\(\vec{y}\)に移す。
