3次元空間における2質点の衝突を考える。両質点の質量を\(m,M\)とし、各々の衝突前の速度を\(v_0,V_0\)、衝突後の速度を\(v,V\)とする。速度はベクトルであるが矢印等を省略する。
運動量保存により\[m(v_0-v)=M(V-V_0)\]が成立する。上の両辺は\(m\)から\(M\)に渡った運動量を表しており、これを\(p\)とする。このもとで、運動エネルギー保存\[\frac{m}{2}(|v_0|^2-|v|^2)=\frac{M}{2}(|V|^2-|V_0|^2)\]と、「近づく速さ＝遠ざかる速さ」\[|v_0-V_0|=|V-v|\]とが必要十分であることを、両等式をそれぞれ変形することにより示す。
前者は\[\frac{m}{2}(v_0-v)\cdot(v_0+v)=\frac{M}{2}(V-V_0)\cdot(V+V_0)\]\[p\cdot\frac{v_0+v}{2}=p\cdot\frac{V+V_0}{2}\]\[p\cdot(v_0-V_0)=p\cdot(V-v)\tag{*}\]と変形できる。いっぽう後者は\[|v_0-V_0|^2=|V-v|^2\]\[|v_0-V_0|^2-|V-v|^2=0\]\[ [(v_0-V_0)+(V-v)]\cdot[(v_0-V_0)-(V-v)]=0\]\[ [(v_0-v)+(V-V_0)]\cdot[(v_0-V_0)-(V-v)]=0\]\[\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{M}\right)p\cdot[(v_0-V_0)-(V-v)]=0\]と変形できる。これと(*)を見比べれば必要十分であることが分かる。
(*)は、両質点の相対速度の撃力方向成分は衝突の前後で反転することを意味している。撃力と垂直な成分は衝突によって変化しないであろうから、これは相対速度の大きさが不変であることと必要十分であることが頷ける。■
