平方数以外の自然数の平方根は無理数である

平方数でない自然数平方根が既約分数\(a/b\)で表されると仮定して矛盾を導く。
\(a/b\)の整数部分を\(n\)とすると、小数部分は\((a/b)-n\)であり、\(0\)と\(1\)の間にある。これを\(a/b\)の分母・分子に乗じると、両者とも前より\(0\)に近い数となり、\[\frac{a}{b}=\frac{a[(a/b)-n]}{b[(a/b)-n]}=\frac{b(a/b)^2-an}{a-bn}\]となる。いま\( (a/b)^2\)が整数であることから、分母も分子も整数であり、これは「約分ができてしまった」ことを意味する。■