集合\(x\)について、「\(x\)は順序数である」とは「\(x\)は関係\(\in\)で整列順序をなす推移的集合である」、「\(x\)は自然数である」とは「\(x\)自身とその要素のすべてが、『空集合か後続順序数』である」という意味であるとする。
無限公理：\(\varnothing\in X\)かつ「\(x\in X\)ならば\(x\cup\{x\}\in X\)」を満たす集合\(X\)が存在する。
無限公理により存在が保証された集合のひとつを\(X\)と名付ければ、分出公理により\(N=\{n\in X|nは自然数\}\)は集合をなす。\(N\)が「すべての自然数の集合」と呼ばれるためには、\(N\)が自然数を取りこぼしていないことを示さねばならない。そのためには、任意の自然数\(n\)に対して\(n\in X\)であることを示せばよい。
『ゲーデルと20世紀の論理学』第4巻p77では、このことは「自然数全体のクラス」が集合をなすことが示される前に証明する必要があるので、整列集合上の超限帰納法を（単純には）適用できないという趣旨の注意喚起がある。Kunen『集合論』p25では、この不都合を避けた証明を「不格好な論法」として紹介している。以下はそれをさらに書き直したもの。
【補題】任意の自然数\(n\)に対し、\(n\subset X\)である。
（証明）任意の自然数\(n\)をとり、\(\forall m\in n[m\in X]\)を導こう。\(n\)は関係\(\in\)について整列順序をなしているので、この関係を「\( < \)」と書くことにする。超限帰納法の原理を用いて、任意の\(m\in n\)をとって\(\forall l\in n[l < m\rightarrow l\in X]\)を仮定し、\(m\in X\)を導けばよい。
\(n\)が自然数であることから、\(m\)は空集合か後続順序数である。前者ならば\(X\)の定義から\(m\in X\)である。後者の場合、\(l\cup\{l\}=m\)なる順序数\(l\)が存在する。\(n\)が推移的集合であることと\(l\in m\)から\(l\in n\)であり、また\(l < m\)だから、 帰納法の仮定により\(l\in X\)、したがって\(X\)の定義から\(m\in X\)である。■
【定理】任意の自然数\(n\)に対し、\(n\in X\)である。
（証明）\(n=\varnothing\)のとき、\(X\)の定義から\(n\in X\)である。\(n\)が後続順序数のとき、\(m\cup\{m\}=n\)なる順序数\(m\)が存在する。\(m\in n\)と補題から\(m\in X\)、したがって\(X\)の定義から\(n\in X\)である。■
