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モストフスキ同型定理

補題1】推移的集合\(T\)において関係\(\in\)が推移律を満たすとき、\(T\)の要素はすべて推移的集合である。
(証明)\(x\in y\in z\in T\)と仮定し、\(x\in z\)を導く。\(T\)が推移的集合であることから\(y\in T\)、さらに\(x\in T\)である。すると\(T\)における二項関係\(\in\)の推移性から\(x\in z\)となる。■

【定義】整列集合\( (W, < )\)の任意の要素\(x\)の各々について、条件\(\psi_x(\pi)\)とは\(\pi\)が以下をともに満たすことであるとする。
・\(\pi\)は\( (W_{ < x}, < )\)から\( (\pi[W_{ < x}],\in)\)への同型写像である。
・\(\pi\)の値域\(\pi[W_{ < x}]\)は推移的集合である。

補題2】\(\pi\)が整列集合\( (W, < )\)から推移的集合\( (T, \in)\)への同型写像であり、\(x\in W\)のとき、\(\pi\upharpoonright_{ < x}\)は\(\psi_x\)を満たし、その値域は\(\pi(x)\)である。
(証明)整列集合の性質から、\(\pi\upharpoonright_{ < x}\)は\( (W_{ < x}, < )\)から\( (T_{\in\pi(x)},\in)\)への同型写像である。\(T\)が推移的集合であることから\(\pi(x)\subseteq T\)、したがって\(T_{\in\pi(x)}=T\cap\pi(x)=\pi(x)\)である。\( (T,\in)\)は整列集合と同型であるからそれ自身も整列集合であり、したがって関係\(\in\)は\(T\)において推移的である。よって補題1により\(\pi(x)\)は推移的集合である。■

補題3】整列集合\( (W, < )\)の任意の\(x\in W\)に対し、\(\psi_x\)を満たすものが一意に存在する。

(証明)整列集合上の超限帰納法による。任意の\(x\in W\)をとり、\(y < x\)なる任意の\(y\in W\)の各々について、\(\psi_y\)を満たすものが一意に存在すると仮定し、それらを\(\pi^*_y\)とする。\(W_{ < x}\)の各要素\(y\)に対して\(\pi^*_y\)の値域を対応させる写像クラス\(\pi_x=\{\langle y,\pi^*_y[W_{ < y}]\rangle: y < x\}\)を考えれば、置換公理のもとで\(\pi_x[W_{ < x}]\)および\(\pi_x\)は集合をなす。この\(\pi_x\)が\(\psi_x\)を満たすことを示す。以下では、「帰納法の仮定により、各\(\pi_x(y)\)は\(\psi_y\)を満たす写像の値域として唯一のものである」という事実を頻繁に用いる。
・\(\pi_x\)が単射であること:\(u,v\in W_{ < x}\)かつ\(\pi_x(u)=\pi_x(v)\)と仮定すると、\(W_{ < u}\)と\(W_{ < v}\)が同型となるから、整列集合の性質により\(u=v\)である。
・任意の\(u,v\in W_{ < x}\)について、\(u < v\Leftrightarrow\pi_x(u)\in\pi_x(v)\)であること:(→)\(u < v < x\)と仮定する。補題2により、\(\pi^*_v\upharpoonright_{ < u}\)は\(\psi_u\)を満たし、その値域は\(\pi^*_v(u)\)である。よって\(\pi_x(u)=\pi^*_v(u)\in\pi_x(v)\)である。(←)\(u,v\in W_{ < x}\)かつ\(\pi_x(u)\in\pi_x(v)\)と仮定すると、\(\pi_x(u)=\pi^*_v(w)\)なる\(w < v\)が存在する。補題2により\(\pi^*_v\upharpoonright_{ < w}\)は\(\psi_w\)を満たし、その値域は\(\pi^*_v(w)\)である。よって\(\pi_x(u)=\pi^*_v(w)=\pi_x(w)\)となり、\(\pi_x\)の単射性から\(u=w < v\)を得る。
・\(\pi_x[W_{ < x}]\)が推移的集合であること:上記の「←」の証明において\(\pi_x(u)\)を\(s\)と読み替えて同様の議論をすることにより、\(s=\pi_x(w)\in\pi[W_{ < x}]\)を得る。
最後に一意性を示すため、\(\psi_x(\pi'_x)\)を仮定して\(\pi'_x=\pi_x\)を導く。任意の\(y < x\)をとると、補題2により\(\pi'_x\upharpoonright_{ < y}\)は\(\psi_y\)を満たし、その値域は\(\pi'_x(y)\)である。したがって\(\pi'_x(y)=\pi_x(y)\)である。■

【定理】任意の整列集合\( (W, <)\)の各々について、これと同型な推移的集合が一意に存在する。
(証明)\(W\)の末尾に要素\(z\)を付け加えた整列集合\(W^+\)を考えると、\(W=W^+_{ < z}\)であるから、補題3により\(W\)と同型な推移的集合が一意に存在する。■