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キューネン数学基礎論p151、演習問題II.7.5

\(\mathfrak{A}\)を語彙\(\mathcal{L}\)に対する構造とし、その台集合を\(A\)とする。\(\mathcal{L}\)の項\(\tau\)に対し、「\(\tau\)に対する\(A\)への任意の割り当て\(\sigma',\sigma\)について、\(\sigma'\upharpoonright V(\tau)=\sigma\upharpoonright V(\tau)\)ならば\({\rm val}_\mathfrak{A}(\tau)[\sigma']={\rm val}_\mathfrak{A}(\tau)[\sigma]\)」という条件を\(\varphi(\tau)\)と置く。帰納法により\(\mathcal{L}\)の任意の項\(\tau\)について\(\varphi(\tau)\)が成り立つことを示す。

(1)\(\tau\in VAR\)のとき:\(\tau\)に対する\(A\)への割り当てで、\(\sigma'\upharpoonright V(\tau)=\sigma\upharpoonright V(\tau)\)を満たす任意の\(\sigma',\sigma\)をとる。\({\rm val}_\mathfrak{A}(\tau)[\sigma']=\sigma'(\tau)\)、\({\rm val}_\mathfrak{A}(\tau)[\sigma]=\sigma(\tau)\)であるが、\(\tau\in V(\tau)\)により両者は等しい。
(2)\(\tau\in\mathcal{F}_0\)のとき:(1)と同様に\(\sigma',\sigma\)をとると、\({\rm val}_\mathfrak{A}(\tau)[\sigma']\)も\({\rm val}_\mathfrak{A}(\tau)[\sigma]\)も共に\(\tau_\mathfrak{A}\)に等しい。
(3)\(n > 0\)に対し\(f\in\mathcal{F}_n\)かつ項\(\tau_0,\dots,\tau_{n-1}\)がすべて\(\varphi\)を満たすと仮定し、\(\tau=f\tau_0\ldots\tau_{n-1}\)も\(\varphi\)を満たすことを導く:(1)と同様に\(\sigma',\sigma\)をとると、これらは\(\tau_0,\dots,\tau_{n-1}\)のいずれに対しても\(A\)への割り当てとなっており、またどの\(\tau_i\)についても\(\sigma'\upharpoonright V(\tau_i)=\sigma\upharpoonright V(\tau_i)\)が成り立っているから、\(\varphi(\tau_i)\)により\({\rm val}_\mathfrak{A}(\tau_i)[\sigma']={\rm val}_\mathfrak{A}(\tau_i)[\sigma]\)である。すると\({\rm val}_\mathfrak{A}(\tau)[\sigma']\)および同\([\sigma]\)はその定義から等しくなる。■