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線形変換の冪の核に対して特徴的な基底

竹山美宏『ベクトル空間』16.2節に相当する議論。

\(\varphi\)を有限次元ベクトル空間\(V\)上の線形変換とし、自然数\(i\)に対して\({\rm Ker}\ \varphi^i\)を\(Z_i\)と書く。\(Z_i\)に対して特徴的な基底がとれることを議論する。

補題1】任意の自然数\(i\)に対し、以下が成り立つ。
(1)\(Z_i\subseteq Z_{i+1}\)
(2)\(\varphi[Z_{i+2}\backslash Z_{i+1}]\subseteq Z_{i+1}\backslash Z_i\)
(証明)(1)\(x\in Z_i\)とすると\(\varphi^i(x)=0\)、この両辺に\(\varphi\)を作用させると\(\varphi^{i+1}(x)=0\)、したがって\(x\in Z_{i+1}\)である。
(2)\(x\in\varphi[Z_{i+2}\backslash Z_{i+1}]\)とすると、\(x=\varphi(y)\)かつ\(\varphi^{i+1}(y)\neq0\)かつ\(\varphi^{i+2}(y)=0\)を満たす\(y\in V\)が存在する。後2者はそれぞれ\(\varphi^i(\varphi(y))\neq0,\varphi^{i+1}(\varphi(y))=0\)と書けるので、これと\(x=\varphi(y)\)から\(x\in Z_{i+1}\backslash Z_i\)である。■

補題2】\(i\)を任意の自然数とする。\(Z_{i+2}\)が\(Z_{i+1}\oplus W\)を部分空間に持つとき、\(Z_{i+1}\)は\(Z_i\oplus\varphi[W]\)を部分空間に持つ。
(証明)補題1(1)を考慮すれば、\(W\subseteq (Z_{i+2}\backslash Z_{i+1})\cup\{0\}\)を仮定して\(\varphi[W]\subseteq (Z_{i+1}\backslash Z_i)\cup\{0\}\)を導けばよいことがわかる。集合の像の性質と仮定により\(\varphi[W]\subseteq\varphi[(Z_{i+2}\backslash Z_{i+1})\cup\{0\}]=\varphi[Z_{i+2}\backslash Z_{i+1}]\cup\varphi[\{0\}]\)、ここで補題1(2)と\(\varphi(0)=0\)を用いると、さらに\(\subseteq(Z_{i+1}\backslash Z_i)\cup\{0\}\)となる。■

補題3】\(W\)を\(V\)の部分空間とする。\({\rm Ker}\ \varphi\upharpoonright_W=\{0\}\)かつ\(W=A\oplus B\)のとき、\(\varphi[W]=\varphi[A]\oplus \varphi[B]\)である。
(証明)略。■

以下、\(Z_4\)の場合について述べるが、一般の\(Z_i\)についても同様である。
\(Z_4\)における\(Z_3\)の補空間のひとつをとって\(W_4\)とすると、\[Z_4=Z_3\oplus W_4\]と書ける。すると補題2から\(Z_3\)は\(Z_2\oplus\varphi[W_4]\)を部分空間に持つ。この空間の\(Z_3\)における補空間のひとつをとって\(W'_3\)とし、さらに\(\varphi[W_4]\oplus W'_3\)を\(W_3\)と書けば\[Z_3=Z_2\oplus\varphi[W_4]\oplus W'_3=Z_2\oplus W_3\]となる。全く同様にして\[Z_2=Z_1\oplus\varphi[W_3]\oplus W'_2=Z_1\oplus W_2\]\[Z_1=Z_0\oplus\varphi[W_2]\oplus W'_1=Z_0\oplus W_1\]を得る。\(Z_0=\{0\}\)から、\(Z_4=W_1\oplus W_2\oplus W_3\oplus W_4\)である。
\(W_4\)を\(W'_4\)とも書くことにし、\(W_1\)~\(W_4\)を順次計算すると\[W_4=W'_4\]\[W_3=\varphi[W_4]\oplus W'_3=\varphi[W'_4]\oplus W'_3\]\[W_2=\varphi[W_3]\oplus W'_2=\varphi^2[W'_4]\oplus\varphi[W'_3]\oplus W'_2\]\[W_1=\varphi[W_2]\oplus W'_1=\varphi^3[W'_4]\oplus\varphi^2[W'_3]\oplus\varphi[W'_2]\oplus W'_1\]途中の計算では、\(k\geq 2\)のとき\({\rm Ker}\ \varphi\upharpoonright_{W_k}=\{0\}\)より、補題3を用いた。

\(k\geq 1\)に対し\(W'_k\)の基底を\(T'_k\)とすると、\(k\)未満の任意の自然数\(n\)について\({\rm Ker}\ \varphi^n\upharpoonright_{W'_k}=\{0\}\)から、\(\varphi^n[T'_k]\)は\(\varphi^n[W'_k]\)の基底となる。したがって、\[T'_4,\varphi[T'_4],\varphi^2[T'_4],\varphi^3[T'_4],\ T'_3,\varphi[T'_3],\varphi^2[T'_3],\ T'_2,\varphi[T'_2],\ T'_1\]を連ねたものは\(Z_4\)の基底である。また\(W'_k\subseteq Z_k\)より\(\varphi^k[W'_k]=\{0\}\)、つまり\(T'_k\)の各ベクトルを\(\varphi^k\)でうつすといずれも\(0\)になる。