（関係者向けのノートです。）
●転倒数の定義の同等性の証明
\(\{1,2,\ldots,n\}=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}\)とする。任意の\(k=1,2,\ldots,n\)に対し、\(a_r=k\)を満たす\(r\)はただひとつ存在するから、これを\(c_k\)と書く。
\(\sigma\)をサイズ\(n\)の置換とし、\[X=\{(p,q)\mid a_p < a_q\wedge\sigma(a_p) > \sigma(a_q)\}\]\[Y=\{(i,j)\mid i < j\wedge\sigma(i) > \sigma(j)\}\] とおく。\(|X|=|Y|\)を示すために、\(X\to Y\)および\(Y\to X\)の単射を構成する。
\( (p,q)\in X\)のとき\( (a_p,a_q)\in Y\)であるから、\[\varphi:X\to Y,\ (p,q)\mapsto (a_p,a_q)\]という写像を考えることができる。\( (a_p,a_q)=(a_{p'},a_{q'})\)とすると、\(a_p=a_{p'}\)かつ\(a_q=a_{q'}\)から\(p=p'\)かつ\(q=q'\)、したがって\(\varphi\)は単射である。
いっぽう\( (i,j)\in Y\)のとき\( (c_i,c_j )\in X\)であるから（\(a_{c_k}=k\)に注意）、\[Y\to X,\ (i,j)\mapsto(c_i,c_j)\]という写像を考えることができる。これは\(\varphi\)と同様にして単射であることが分かる。
●補題5.6で\(|T_\tau|\leq|T_{\tau^{-1}}|\)を示す箇所
\[T_\tau=\{(i,j)\mid i < j\wedge \tau(i) > \tau(j)\}\]\[T_{\tau^{-1}}=\{(x,y)\mid x < y\wedge \tau^{-1}(x) > \tau^{-1}(y)\}\]とする。\( (i,j)\in T_\tau\)のとき\( (\tau(j),\tau(i) )\in T_{\tau^{-1}}\)であるから（\(\tau^{-1}(\tau(k))=k\)に注意）、\[T_\tau\to T_{\tau^{-1}},\ (i,j)\mapsto(\tau(j),\tau(i) )\]という写像を考えることができる。\( (\tau(j),\tau(i))=(\tau(j'),\tau(i') )\)とすると、\(\tau(j)=\tau(j')\)かつ\(\tau(i)=\tau(i')\)から\(j=j'\)かつ\(i=i'\)、したがってこの写像は単射である。
