（※内輪向けのメモです。）
発表者の証明を聞いて「ふんふん」と納得することと、実際に自分で証明を書いてみることの間には大きな壁があります。全部やるのは大変ですが、いくつかでも自分で書いてみることを勧めます。
今日取り上げられていた、補題1.3.2の2の逆を例に挙げると：
（問）「\(A\cup B\subset C\)ならば『\(A\subset C\)かつ\(B\subset C\)』」を証明せよ。
（証明）\(A\cup B\subset C\)を仮定し、\(A\subset C\)および\(B\subset C\)をそれぞれ導く。
まず\(A\subset C\)を示すためには、\(x\in A\)を満たす任意の\(x\)をとり、\(x\in C\)を導けばよい。
いま\(x\)は\(x\in A\vee x\in B\)を満たしているので、\(x\in A\cup B\)である。
これと\(A\cup B\subset C\)から、\(x\in C\)である。以上により\(A\subset C\)が示された。
同様にして\(B\subset C\)も示される。■
（別証）以下の補題を先に示す。
・\(P\subset P\cup Q\)および\(Q\subset P\cup Q\)
（証明）前者を示すために、\(x\in P\)を満たす任意の\(x\)をとり、\(x\in P\cup Q\)を導く。\(x\in P\)から、\(x\in P\vee x\in Q\)が成り立っている。したがって\(x\in P\cup Q\)である。後者も同様に示される。■
・「\(X\subset Y\)かつ\(Y\subset Z\)」ならば\(X\subset Z\)
（証明）\(X\subset Y,Y\subset Z\)を仮定し、さらに\(a\in X\)を満たす任意の\(a\)をとって\(a\in Z\)を導く。\(a\in X\)と\(X\subset Y\)から、\(a\in Y\)である。これと\(Y\subset Z\)から、\(a\in Z\)である。■
（本題の証明）\(A\cup B\subset C\)を仮定すると、上の補題により\(A\subset A\cup B\subset C\)から\(A\subset C\)が導かれる。同様に\(B\subset A\cup B\subset C\)から\(B\subset C\)となる。■
