\(\mathcal{P}\)を集合\(X\)の分割とし、\(X\)上の二項関係\(x\sim y\)を\(\exists S\in\mathcal{P}[x\in S\wedge y\in S]\)と定義すると、\(\sim\)は同値関係である（証明略）。\(a\in X\)に対し同値類\(\{x\in X\mid x\sim a\}\)を\(C_a\)と略記する。
【補題】\(a\in A\)を満たす任意の\(a\in X\)および\(A\in\mathcal{P}\)に対し、\(A=C_a\)が成り立つ。
（証明）\(A\subseteq C_a\)について：任意の\(x\in A\)をとると、\(a\in A\)であったので\(x\sim a\)すなわち\(x\in C_a\)を得る。
\(A\supseteq C_a\)について：任意の\(x\in C_a\)をとると、\(x\sim a\)により、\(x\in S\)かつ\(a\in S\)を満たす\(S\in\mathcal{P}\)がとれる。すると\(a\in S\cap A\neq\varnothing\)であり、\(\mathcal{P}\)が分割であること（条件3.）から\(S=A\)、したがって\(x\in A\)である。■
【本題】\(\mathcal{P}=\{C_a:\ a\in X\}\)である。
（証明）右辺を\(\mathcal{Q}\)とおく。
\(\mathcal{P}\subseteq\mathcal{Q}\)について：任意の\(A\in\mathcal{P}\)をとると、\(\mathcal{P}\)が分割であること（条件1.）から\(a\in A\)なる\(a\in X\)がとれる。すると補題により\(A=C_a\in\mathcal{Q}\)である。
\(\mathcal{P}\supseteq\mathcal{Q}\)について：任意の\(a\in X\)をとると、\(\mathcal{P}\)が分割であること（条件2.）から\(a\in A\)なる\(A\in\mathcal{P}\)がとれる。すると補題により\(C_a=A\in\mathcal{P}\)である。■
