注意：以下において「論理式\(\psi\)の自由変数\(x\)に項\(t\)を代入する」とは、「\(\psi\)が\(x\)を自由変数として持つならば\(t\)を代入し、持たないならば何もしない」という意味であるとする。
閉論理式\(\varphi\)に登場するもの以外の変数を持たない、任意の論理式（\(\varphi\)もそのひとつであるが、閉論理式でなくてよい）\(\psi\)について、\(\psi\)および\(\psi^\sharp\)の自由変数に任意の\(\mathcal{D}\)拡大閉項を代入したとき（\(\psi\)の\(x_i\)と\(\psi^\sharp\)の\(x_{2i}\)には同じものを代入する）、そのつど両者の真理値が一致することを示せば、\(\mathcal{M}(\varphi)=\mathcal{M}(\varphi^\sharp)\)はその特別な場合として導かれる。
\(\varphi\)に登場する\(k\)個の変数を適当に並べて、その変数番号を\(i_1,i_2,\ldots,i_k\)とする。\(\mathcal{D}\)拡大閉項を\(k\)個並べた順序対（以下「代入リスト」という）\(L=({\sf a}_1,{\sf a}_2,\ldots,{\sf a}_k)\)を\(\psi\)に代入したもの、つまり「各\(j=1,2,\ldots,k\)について、\(\psi\)の自由変数\(x_{i_j}\)に\({\sf a}_j\)を代入したもの」を\(\psi_L\)と書く。同様に各\({\sf a}_j\)を\(\psi^\sharp\)の自由変数\(x_{2i_j}\)に代入したものを\(\psi^\sharp_L\)と書く。
\(\mathcal{M}(\psi_L)=\mathcal{M}(\psi^\sharp_L)\)が任意の代入リスト\(L\)について成り立つことを「論理式の複雑さに関する帰納法」によって示す。
\(\psi\)が原子論理式のとき：任意の代入リスト\(L\)について、\(\psi_L\)および\(\psi^\sharp_L\)の対応する項の値は等しいので（証明略）、これらを同じ述語記号で繋いだものの真理値も等しくなる。
\(\psi\)が複合論理式のとき：\(\psi\)より単純な任意の論理式\(\alpha\)について、「任意の代入リスト\(K\)に対し\(\mathcal{M}(\alpha_K)=\mathcal{M}(\alpha^\sharp_K) \)」が成り立っていると仮定する。
代入リスト\(L\)を任意にひとつ取って固定する。
・\(\psi=\neg\alpha\)のとき：\(\psi_L=\neg(\alpha_L)\)から\[\mathcal{M}(\psi_L)=真\Leftrightarrow\mathcal{M}(\alpha_L)=偽\]いっぽう\(\psi^\sharp=\neg(\alpha^\sharp)\)から\(\psi^\sharp_L=\neg(\alpha^\sharp_L)\)であるので\[\mathcal{M}(\psi^\sharp_L)=真\Leftrightarrow\mathcal{M}(\alpha^\sharp_L)=偽\]である。帰納法の仮定から両者の右辺同士は同値であるので、左辺同士も同値であり、\(\mathcal{M}(\psi_L)=\mathcal{M}(\psi^\sharp_L)\)となる。 \(\psi\)が「\(\alpha\wedge\beta\)」「\(\alpha\vee\beta\)」「\(\alpha\rightarrow\beta\)」と書かれる場合も同様にして示される。
・\(\psi=\exists x_i[\alpha]\)のとき：\(\alpha\)の\(x_i\)でない自由変数のみに\(L\)を代入したものを\(\alpha_{L^*}\)と書けば\[\mathcal{M}(\psi_L)=真\Leftrightarrow ある\mathcal{D}拡大閉項{\sf a}について\mathcal{M}(\alpha_{L^*}[{\sf a}/x_i])=真\]いっぽう\(\psi^\sharp=\exists x_{2i}[\alpha^\sharp]\)であり、\(\alpha^\sharp\)の\(x_{2i}\)でない自由変数のみに\(L\)を代入したものを\(\alpha^\sharp_{L^*}\)と書けば\[\mathcal{M}(\psi^\sharp_L)=真\Leftrightarrow ある\mathcal{D}拡大閉項{\sf a}について\mathcal{M}(\alpha^\sharp_{L^*}[{\sf a}/x_{2i}])=真\]である。いま任意の\(\mathcal{D}\)拡大閉項\({\sf c}\)について、\(\alpha_{L^*}[{\sf c}/x_i]\)と\(\alpha^\sharp_{L^*}[{\sf c}/x_{2i}]\)は、共通の代入リストを\(\alpha\)と\(\alpha^\sharp\)に代入したものにほかならないから、帰納法の仮定によりその真理値は\({\sf c}\)ごとに等しい。 したがって上記の右辺同士は同値であり、それゆえ左辺同士も同値となって\(\mathcal{M}(\psi_L)=\mathcal{M}(\psi^\sharp_L)\)を得る。\(\psi=\forall x_i[\alpha]\)と書かれる場合も同様に示される。■
