新井仁之『ルベーグ積分講義』（日本評論社）p190~p192の議論を書き直したもの。
\(\triangle{\rm ABC}=T\)に対して、操作(I)を施すことにより重なりの生じる部分（五角形\({\rm PQM'MR}\)）を\(\Omega(T)\)とし、その面積を求める。\(\triangle{\rm QAM'}\)と \(\triangle{\rm RMB'}\)を、\({\rm QM'}\)と\({\rm RM}\)が一致するように合体させた三角形\({\rm QAM'(M)B'R}\)を考える。すると\(\triangle{\rm CAB}\sim \triangle{\rm PAB'}\sim\triangle{\rm QAM'(M)B'R}\)であり、相似比は\({\rm AB:AB':(AB'-M'M)}=1:\alpha:[\alpha-(1-\alpha)]\)となる。したがって\[\Omega(T)=\triangle{\rm PAB'}-\triangle{\rm QAM'(M)B'R}=[\alpha^2-(2\alpha-1)^2]T\]である。
操作(II)において、最初の\(\triangle{\rm ABC}\)を\(\Psi_0(=\Psi_{0,h})\)と書けば、\(\Psi_k\)から\(\Psi_{k+1}\)を得る操作を\(n\)回繰り返すことになる。1回の操作によって\(\Psi_{k,h}\)に由来する\(\Omega(\Psi_{k,h})/2^{n-k}\)の重なりが\(2^{n-k}\)個生じるので、これによって面積は\(\Omega(\Psi_{k,h})\)だけ減少する。この重なりは、その後の操作によって解消されることはないので、同部を「糊づけした」と考えてよい。いっぽう\(\Psi_{k,h}\)に由来しない部分は、新たな重なりが生じたり再び分離したりするため、その挙動は複雑である。そこで、面積の変化を見積もる際には「少なくとも、上述の糊づけされた分だけは面積が減少する」という事実を用いる。すると\(n\)回の操作によって面積は少なくとも\(\sum_{k=0}^{n-1}\Omega(\Psi_{k,h})\)だけ減少する。\(\Psi_{j+1,h}=\alpha^2\Psi_{j,h}\)より\(\Psi_{k,h}=\alpha^{2k}\Psi_{0,h}\)だから、以上の議論により\[\Psi_n\leq\left\{1-\sum_{k=0}^{n-1}[\alpha^2-(2\alpha-1)^2]\alpha^{2k}\right\}\Psi_{0,h}\]\[=\left[1-\frac{3\alpha-1}{1+\alpha}\left(1-\alpha^{2n}\right)\right]\triangle{\rm ABC}\]を得る。これは教科書p192の末尾で\(\sum\)の項数を有限のまま計算したものと一致する。
\(\Psi_n/\triangle{\rm ABC}\)を\(t(\alpha,n)\)とおき、任意の\(\epsilon > 0\)に対して、\(t(\alpha,n) < \epsilon\)となるような\(\alpha,n\)の組が\(\epsilon\)ごとにとれることを見る。小さい\(\epsilon > 0\)に対して\(\alpha_0=(4-\epsilon)/(4+\epsilon)\)とすると\(1/2 < \alpha < 1\)が成り立ち、\( (3\alpha_0-1)/(1+\alpha_0)=1-(\epsilon/2)\)である。さらに、この\(\alpha_0\)と\(\epsilon\)に対して、\({\alpha_0}^{n_0}\leq\epsilon/2\)なる自然数\(n_0\)をとることができる。このとき\(t(\alpha_0,n_0)\leq1-[1-(\epsilon/2)]^2 < \epsilon\)となる。
