内田伏一『集合と位相』p117〜p118を参考に、チコノフの定理の証明を整理した。
【定理】（チコノフの定理）位相空間系\( ( (X_\lambda,\mathscr{O}_\lambda)\mid\lambda\in\Lambda)\)の積空間を\( (Y,\mathscr{O})\)とする。すべての因子空間\( (X_\lambda,\mathscr{O}_\lambda)\)がコンパクト空間であれば、\( (Y,\mathscr{O})\)もコンパクト空間である。
【証明】\( (Y,\mathscr{O})\)における有限交叉性を持つ任意の集合族\(\mathfrak{A}\)をとり、\(\mathfrak{A}\)の全要素に共通する触点が存在することを示せばよい（特に\(\mathfrak{A}\)が閉集合族のとき、この「共通の触点」は共有元となる）。\(Y\)の部分集合族で有限交叉性を持ち\(\mathfrak{A}\)を包含するもの全体の集合を考えると、これは包含関係による半順序に関して帰納的であるから、ツォルンの補題により極大元\(\mathfrak{M}\)がとれる。各\(\lambda\in\Lambda\)に対し、\(Y\)から\(X_\lambda\)への標準的射影を\(p_\lambda\)として\[\mathfrak{M}_\lambda=\{(p_\lambda[F])^a\mid F\in\mathfrak{M}\}\]とおく。\(\mathfrak{M}_\lambda\)の有限個の要素\((p_\lambda[F_i])^a\)（ただし\(i=1,2,\ldots,k\)に対し\(F_i\in\mathfrak{M}\)）について、\(\mathfrak{M}\)の有限交叉性から\(\bigcap_{i=1}^kF_i\neq\varnothing\)であることに注意すると\(\bigcap_{i=1}^k(p_\lambda[F_i])^a\supseteq\bigcap_{i=1}^k p_\lambda[F_i]\supseteq p_\lambda[\bigcap_{i=1}^k F_i]\neq\varnothing\)が成り立つ。したがって\(\mathfrak{M}_\lambda\)も有限交叉性を持つから、\(X_\lambda\)のコンパクト性により\(\bigcap\mathfrak{M}_\lambda\neq\varnothing\)、そこで選択公理のもと\(\lambda\in\Lambda\)にわたって\(y_\lambda\in\bigcap\mathfrak{M}_\lambda\)を選ぶことができる。\(y_\lambda\)を各\(\lambda\)成分にもつ\(Y\)の点を\(y\)とすると、実はこれが\(\mathfrak{M}(\supseteq\mathfrak{A})\)の全要素の触点となっている。このことを示すために、積位相\( (Y,\mathscr{O})\)の開基\(\bigcap_{i=1}^n p_{\lambda_i}^{-1}[U_i]\)（ただし各\(U_i\in\mathscr{O}_{\lambda_i}\)）で\(y\)の属すものを任意にとり、これが\(\mathfrak{M}\)のすべての要素と交わることを導く。
\(i\in\{1,2,\ldots,n\}\)を任意に固定し、任意の\(F\in\mathfrak{M}\)をとる。\(y\in p_{\lambda_i}^{-1}[U_i]\)より\(y_{\lambda_i}=p_{\lambda_i}(y)\in U_i\in\mathscr{O}_{\lambda_i}\)、いっぽう\(y_{\lambda_i}\in\bigcap\mathfrak{M}_{\lambda_i}\subseteq (p_{\lambda_i}[F])^a\)である。したがって\(p_{\lambda_i}[F]\)は自身の触点の近傍である\(U_i\)と交わる。つまり\(F\)の要素で\(p_{\lambda_i}\)によって\(U_i\)の要素にうつるものがあるが、これは「\(p_{\lambda_i}^{-1}[U_i]\)と\(F\)が交わる」と言い換えることもできる。以上により、\(p_{\lambda_i}^{-1}[U_i]\)は\(\mathfrak{M}\)のすべての要素と交わる。これと\(\mathfrak{M}\)の有限交叉性・極大性から、以下のように\(p_{\lambda_i}^{-1}[U_i]\in\mathfrak{M}\)が導かれる。
\(\mathfrak{M}\cup\{p_{\lambda_i}^{-1}[U_i]\}\)の有限交叉は\(\mathfrak{M}\)の有限交叉\(G\)を用いて\(G\)あるいは\(G\cap p_{\lambda_i}^{-1}[U_i]\)と書かれる。\(\mathfrak{M}\cup\{G\}\)の有限交叉は\(\mathfrak{M}\)の有限交叉で書かれるので\(\mathfrak{M}\cup\{G\}\)は有限交叉性を持ち、\(\mathfrak{M}\)の極大性から\(G\in\mathfrak{M}\)、したがって\(G\cap p_{\lambda_i}^{-1}[U_i]\neq\varnothing\)となるので\(\mathfrak{M}\cup\{p_{\lambda_i}^{-1}[U_i]\}\)も有限交叉性を持つ。すると再び\(\mathfrak{M}\)の極大性により\(p_{\lambda_i}^{-1}[U_i]\in\mathfrak{M}\)である。
\(p_{\lambda_1}^{-1}[U_1],p_{\lambda_2}^{-1}[U_2],\ldots,p_{\lambda_n}^{-1}[U_n]\)がすべて\(\mathfrak{M}\)に属すことと\(\mathfrak{M}\)の有限交叉性から、\(\bigcap_{i=1}^n p_{\lambda_i}^{-1}[U_i]\)は\(\mathfrak{M}\)のすべての要素と交わる。■
