吉田伸生『ルベーグ積分入門』 （遊星社）p8脚注4から本文の不等式を導いてみた。
定義域\(\mathbb{R}^d\)の全体にわたって\[-M\cdot1_\Lambda\leq f\leq M\cdot1_\Lambda\]が成り立っている（\(\Lambda\)外では\(0\leq0\leq0\)）から、任意の\(I_{n,k}\)について\[-M\cdot\underline{1_\Lambda}_{n,k}\leq\underline{f}_{n,k},\quad\overline{f}_{n,k}\leq M\cdot\overline{1_\Lambda}_{n,k}\]であり、したがって\[-M\cdot\underline{s}_n(1_\Lambda)\leq\underline{s}_n(f),\quad\overline{s}_n(f)\leq M\cdot\overline{s}_n(1_\Lambda)\]となる。\(I_{n,k}\)は\(\Lambda\)に「包含される」／「交わらない」のいずれかであり、前者の\(k\)は\( (l/2^{-n})^d\)個あって\(\underline{1_\Lambda}_{n,k}=\overline{1_\Lambda}_{n,k}=1\)、いっぽう後者では\(\underline{1_\Lambda}_{n,k}=\overline{1_\Lambda}_{n,k}=0\)となる。以上により\(\underline{s}_n(1_\Lambda)=\overline{s}_n(1_\Lambda)=l^d\)だから、これを上の不等式に反映させると\[-Ml^d\leq\underline{s}_n(f),\quad\overline{s}_n(f)\leq Ml^d\]を得る。
