【命題】\(\mathcal{G}\)は集合族であり、\(\mathcal{H}\subseteq\mathcal{G}\)とする。このとき\[\left(\sum\mathcal{G}\right)\backslash\left(\sum\mathcal{H}\right)\subseteq\sum(\mathcal{G}\backslash\mathcal{H})\]が成り立つ。
（証明）\(x\in\left(\sum\mathcal{G}\right)\backslash\left(\sum\mathcal{H}\right)\)と仮定する。\(x\in\sum\mathcal{G}\)により、\(x\in G\)なる\(G\in\mathcal{G}\)がとれるが、\(x\notin\sum\mathcal{H}\)から\(G\notin\mathcal{H}\)である。したがって\(x\in G\in\mathcal{G}\backslash\mathcal{H}\)であるから、\(x\in\sum(\mathcal{G}\backslash\mathcal{H})\)を得る。■
【命題】特に\(\mathcal{G}\)が互いに素な集合の族であるとき、\[\left(\sum\mathcal{G}\right)\backslash\left(\sum\mathcal{H}\right)=\sum(\mathcal{G}\backslash\mathcal{H})\]が成り立つ。
（証明）\(x\in\sum(\mathcal{G}\backslash\mathcal{H})\)と仮定すると、\(x\in I\)なる\(I \in\mathcal{G}\backslash\mathcal{H}\)がとれる。まず\(x\in I\in\mathcal{G}\)から\(x\in\sum\mathcal{G}\)である。\(\mathcal{G}\)は互いに素な集合族だから、\(\mathcal{G}\)の元のうちで\(x\)が属すのは\(I(\notin\mathcal{H})\)のみである。したがって\(x\notin\sum\mathcal{H}\)、以上により\(x\in\left(\sum\mathcal{G}\right)\backslash\left(\sum\mathcal{H}\right)\)を得る。■
