\(K^n\)の標準基底を\(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\ldots,\vec{e}_n\)とする。
\(K^n\)から\(K\)への線形写像全体のなす集合を\({\rm Hom}(K^n,K)\)とする。
以下の写像\(f,g\)が互いの逆写像であることを示す：
\(f:\fbox{$\begin{array}{ccc}M_{1n}(K)&\to&{\rm Hom}(K^n,K)\\\vec{a}&\mapsto&\fbox{$\begin{array}{ccc}K^n&\to&K\\\vec{x}&\mapsto&\vec{a}\cdot\vec{x}\end{array}$}\end{array}$},\)
\(g:\fbox{$\begin{array}{ccc}{\rm Hom}(K^n,K)&\to&M_{1n}(K)\\s&\mapsto&\begin{pmatrix}s(\vec{e}_1)&s(\vec{e}_2)&\cdots&s(\vec{e}_n)\end{pmatrix}\end{array}$}\)
（証明）任意の\(\vec{a}\in M_{1n}(K)\)をとると\[g(f(\vec{a}))=g(\fbox{$\begin{array}{ccc}K^n&\to&K\\\vec{x}&\mapsto&\vec{a}\cdot\vec{x}\end{array}$})=\begin{pmatrix}\vec{a}\cdot\vec{e}_1&\vec{a}\cdot\vec{e}_2&\cdots&\vec{a}\cdot\vec{e}_n\end{pmatrix}=\vec{a}\]により\(g\cdot f\)は恒等写像である。
任意の\(s\in{\rm Hom}(K^n,K)\)をとると\[f(g(s))=f(\begin{pmatrix}s(\vec{e}_1)&s(\vec{e}_2)&\cdots&s(\vec{e}_n)\end{pmatrix})\]\[=\fbox{$\begin{array}{ccc}K^n&\to&K\\\vec{x}&\mapsto&\begin{pmatrix}s(\vec{e}_1)&s(\vec{e}_2)&\cdots &s(\vec{e}_n)\end{pmatrix}\cdot\vec{x}\end{array}$}\]\[=^*\fbox{$\begin{array}{ccc}K^n&\to&K\\\vec{x}&\mapsto&s(\vec{x})\end{array}$}=s\]により\(f\cdot g\)も恒等写像である。
※\(=^*\)の詳細：\(\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\)とすると\[\begin{pmatrix}s(\vec{e}_1)&s(\vec{e}_2)&\cdots &s(\vec{e}_n)\end{pmatrix}\cdot\vec{x}\]\[=s(\vec{e}_1)x_1+s(\vec{e}_2)x_2+\cdots +s(\vec{e}_n)x_n\]\[=^{**}s(x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2+\cdots +x_n\vec{e}_n)=s(\vec{x})\]を得る。\(=^{**}\)において\(s\)が線形写像であることを用いている。■
