デデキント「連続性と無理数」（英訳： http://www.gutenberg.org/files/21016/21016-pdf.pdf ）についての疑問メモ。
（議論の前提）有理数全体の集合に対し、その切断\((X_1, X_2)\)がひとつ定まるごとに、それに対応する実数\(x\)がひとつ定まる、とする。
切断\((A_1,A_2)\)と切断\((B_1,B_2)\)とに対応する実数を、それぞれ\(\alpha\)と\(\beta\)と書くことにする。2つの切断の間には\(A_1\supset B_1\)または\(A_1\subset B_1\)が成り立つため、以下のうちのいずれかひとつが起こる。
(1)\(A_1\supsetneq B_1\)であり、\(A_1\backslash B_1\)が
・(1a)2個以上（実は無限個）の要素を持つ
・(1b)単一の要素からなる
(2)\(A_1=B_1\)
(3)\(A_1\subsetneq B_1\)であり、\(B_1\backslash A_1\)が
・(3a)単一の要素からなる
・(3b)2個以上（実は無限個）の要素を持つ
(1a)を\(\alpha>\beta\)、(1b)(2)(3a)を\(\alpha=\beta\)、(3b)を\(\alpha<\beta\)と定める。
（議論の前提おわり）
問題にしたい§4の末尾を、ちくま版（渕野訳）から引用する。
（引用）
\(\alpha > \beta\)なら，つまり，\(A_1\)に含まれる数で，\(B_1\)には含まれていないようなものが無限に存在するなら，そのような数で\(\alpha\)とも\(\beta\)とも異なるようなものが無限に存在している．そのような有理数\(c\)は\(A_1\)に含まれるから，\(<\alpha\)であり，\(B_2\)に含まれるから，\(>\beta\)であるからである．
（引用おわり）
いまは有理数全体の集合の切断を扱っていることを考慮すると、ここに出てくる「数」「もの」はいずれも有理数である。一方、\(\alpha\)や\(\beta\)は実数（に対応する、有理数全体の切断）であり、有理数かもしれないし無理数かもしれない。したがって\(c<\alpha\)や\(c>\beta\)は、上で導入した「実数としての」不等式である。
疑問の本題だが、ここは結論は正しいが証明が誤っているのではないかと思う。例えば\(\alpha\)が有理数であり、\(A_1\)の最大元となっている場合、\(c=\alpha\)かもしれず、\(c<\alpha\)とは言えないのではないか？
追記：twitterで@nolimbreさんにご教授いただき、原文および英訳では「後の文が前の文の理由を述べる」という形にはなっておらず、単にセミコロンでつながっているだけであることに気づいた。岩波版河野訳でも
（引用）
もしα＞βならば、B1に含まれていないでA1に含まれる無限に多くの数があるし、これらは同時にαともβとも相異なる。このような有理数cは＜αである。というのはA1に含まれるからであって、これらは同時に＞β、というのはB2に含まれているからである。
（引用終わり）
となっており、同様であった。以上から、デデキントは「αともβとも異なるものがある」ことについては自明とし、そのようなcに対して、単に「異なる」だけでなくα＜c＜βであることを理由とともに付け加えた、と考えるのが妥当であると考えられる。その意味で渕野訳は誤訳と言えるのではないか、というのが現時点での私の見解である。
