●写像$f:X\to Y$と$A\subseteq X, B\subseteq Y$について、$A$の$f$による像$f[A]$の定義は\[\{f(x)\in Y\mid x\in A\}\]あるいは\[\{y\in Y\mid\exists x\in A[y=f(x)]\}\]です。$B$の$f$による原像$f^{-1}[B]$の定義を答えてください。
●写像$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto x^2$による、
(1)$\{2\}$の像、
(2)$\{-2,2\}$の像、
(3)$\{4\}$の原像、
(4)$\{-1,4\}$の原像
を、それぞれ答えてください。
●正誤を答えてください。一般に(1)像の原像は、(2)原像の像は
(A)もとの集合に等しくなる、
(B)もとの集合を包含する、
(C)もとの集合に包含される。
(20230623追記）
$A\subseteq f^{-1}[f[A]]$の証明：
任意に$a\in A$をとると、像の定義から$f(a)\in f[A]$である。すると原像の定義から$a\in f^{-1}[f[A]]$である。
$f[f^{-1}[B]]\subseteq B$の証明：
任意に$y\in f[f^{-1}[B]]$をとると、像の定義により、$y=f(x)$なる$x\in f^{-1}[B]$がとれる。原像の定義により$f(x)\in B$であるから$y\in B$である。
