2項関係の除算

$A,B,C$は集合、$S,R$はそれぞれ$B\times C,A\times C$上の2項関係とする。$A\times B$上の任意の2項関係$X$について\[X\circ S\subseteq R\Leftrightarrow\forall a\in A,c\in C[_aX\circ S_c\rightarrow{}_{a}R_c]\]\[\Leftrightarrow\forall a\in A,c\in C[\exists b\in B[{}_aX_b\wedge{}_bS_c]\rightarrow{}_{a}R_c]\]\[\Leftrightarrow\forall a\in A,c\in C,b\in B[({}_aX_b\wedge{}_bS_c)\rightarrow{}_{a}R_c]\]\[\Leftrightarrow\forall a\in A,b\in B,c\in C[{}_aX_b\rightarrow({}_bS_c\rightarrow{}_{a}R_c)]\]\[\Leftrightarrow\forall a\in A,b\in B[{}_aX_b\rightarrow\forall c\in C[{}_bS_c\rightarrow{}_aR_c]]\]\[\Leftrightarrow X\subseteq\{\langle a,b\rangle\in A\times B\mid\forall c\in C[{}_bS_c\rightarrow{}_aR_c]\}\]
この右辺を$R/S$と定義する。すなわち$X\circ S\subseteq R\Leftrightarrow X\subseteq R/S$である。一般に$K=\bigcup\{X\mid X\subseteq K\}$であるので、$R/S$は$\bigcup\{X\mid X\circ S\subseteq R\}$と書くこともでき、これを定義としてもよい。