吉田伸生『ルベーグ積分入門』補題1.2.4の証明を、一般的な事柄を切り出して書き直してみた。
(1)$T$上の集合族$\mathscr{P,Q}$と$S\subseteq T$について\[\mathscr{P}\!\upharpoonright_S\subseteq\mathscr{Q}\]\[\Leftrightarrow\forall B\in\mathscr{P}[B\cap S\in\mathscr{Q}]\]\[\Leftrightarrow\mathscr{P}\subseteq\{B\subseteq T;B\cap S\in\mathscr{Q}\}\]である。
(2)$T$上の集合族$\mathscr{G,H}$について$\sigma_T[\mathscr{G}]\subseteq\mathscr{H}$を示すには、「$\mathscr{H}$が$\mathscr{G}$を包む$T$上の$\sigma$-加法族であること」を言えば充分である。
上記(1)により、示すべき等式$\sigma_T[\mathscr{G}]\!\upharpoonright_S=\sigma_S[\mathscr{G}\!\upharpoonright_S]$は\[\sigma_T[\mathscr{G}]\!\upharpoonright_S\supseteq\sigma_S[\mathscr{G}\!\upharpoonright_S]\quad かつ\quad\sigma_T[\mathscr{G}]\subseteq\underline{\{B\subseteq T;B\cap S\in\sigma_S[\mathscr{G}\!\upharpoonright_S]\}}_{\mathscr{B}とする}\]
と書き直すことができる。これを示すには(2)により
・$\sigma_T[\mathscr{G}]\!\upharpoonright_S$が$\mathscr{G}\!\upharpoonright_S$を包む$S$上の$\sigma$-加法族であること
・$\mathscr{B}$が$\mathscr{G}$を包む$T$上の$\sigma$-加法族であること
の2つを言えば充分である。$\sigma$-加法性については補題1.2.3(a)(b)により保証される。（以下略）
