●連立方程式の同値変形について
テキストp56の方程式③（$a=3x+5$）が表す直線を、教科書の図に描き込んでみてください。
●円の方程式について
$xy$平面において、中心$(3,-2)$半径$5$の円を$C$とします。
すると、$xy$平面上のすべての点は円$C$の「内部にある／周上にある／外部にある」のいずれかに分類されます。
個々の点がどれに属すかを知りたければ、その点と$C$の中心$(3,-2)$との距離を測り、「$5$より小さいか／$5$に等しいか／$5$より大きいか」を調べればよい。
例えば$(2,1)$なら、距離は$\sqrt{(2-3)^2+(1-(-2))^2}=\sqrt{10}<5$であるので、$C$の内部に位置します。$(0,2)$であれば$\sqrt{(0-3)^2+(2-(-2))^2}=\sqrt{25}=5$なので、$C$の周上にあります。$(-2,2)$ならどこにあるでしょうか？
いわゆる「円の方程式」とは、「点がその円の周上にあるかどうかを判定するための必要十分条件」を等式で書いたものにほかなりません。上の例であれば「点$(x,y)$が円$C$の周上にあるかどうか」は「$\sqrt{(x-3)^2+(y-(-2))^2}=5$かどうか」に懸かっているので、これが円$C$の方程式となります。ルートが煩わしければ$(x-3)^2+(y-(-2))^2=5^2$と書いても同値です。
輪講では円の方程式をさんざん扱ったあとに2点間の距離の話題が出てきたので順番が前後してしまいましたが、本来は円の方程式そのものが2点間の距離の求め方に根差しているのであり、さらにさかのぼればこれは三平方の定理（ピタゴラスの定理）に帰着されることに留意してください。
