●Theme3について：p57の(i),(ii)は、「(i)ならば(ii)」の関係がある（なぜか？）ので、実は(i)さえ考えれば(ii)は必要ありません。実際、p60の最後の数直線では(i)の範囲が(ii)の範囲に完全に含まれています。
●この問題の同値変形のポイントはp57の5°(I)の\[\sqrt{X}>Y\Longleftrightarrow(Y\geq0\wedge X>Y^2)\vee(Y<0\wedge x\geq0)\]です。これを理解することが重要ですが、p60末尾の6°にある通り、$X\geq0$という前提のもとで同値変形するほうが簡便です。その場合にどうなるか、次項の中で説明しています。
●テキストの解答よりもできるだけ簡略になるように努めた解答を以下に示します。
$x=15-a^2,y=14+2a-a^2$と略記すると、求めるべき条件は\[x>0かつy>0かつ\sqrt{x}+\sqrt{y}>3\]と書ける。そこで$\sqrt{x}+\sqrt{y}>3$を$x>0,y>0$のもとで同値変形すればよい。
一般に$X\geq0$のもとで\[\sqrt{X}>Y\Longleftrightarrow Y<0またはX>Y^2\]であるので、$x>0,y>0$のもと\[\sqrt{x}+\sqrt{y}>3\Longleftrightarrow\sqrt{y}>3-\sqrt{x}\]\[\Longleftrightarrow3-\sqrt{x}<0またはy>(3-\sqrt{x})^2\]\[\Longleftrightarrow3-\sqrt{x}<0または6\sqrt{x}>x-y+9\]\[\Longleftrightarrow3-\sqrt{x}<0またはx-y+9<0または36x>(x-y+9)^2\]となる。$x,y$を$a$に書き戻して各条件を満たす範囲を求めると
\[x>0\Longleftrightarrow 15-a^2>0\Longleftrightarrow-\sqrt{15}< a<\sqrt{15}\tag{1}\]\[y>0\Longleftrightarrow14+2a-a^2
>0\Longleftrightarrow1-\sqrt{15}< a<1+\sqrt{15}\tag{2}\]\[3-\sqrt{x}<0\Longleftrightarrow3<\sqrt{15-a^2}\Longleftrightarrow a^2 < 6\Longleftrightarrow-\sqrt{6} < a < \sqrt{6}\tag{3}\]\[x-y+9 < 0\Longleftrightarrow10-2a < 0\Longleftrightarrow a>5\tag{4}\]\[36x>(x-y+9)^2\Longleftrightarrow 36(15-a^2)>(10-2a)^2\]\[\Longleftrightarrow\frac{1-3\sqrt{5}}{2}< a<\frac{1+3\sqrt{5}}{2}\tag{5}\]
以上により、求めるべき条件$(1)\wedge(2)\wedge[(3)\vee(4)\vee(5)]$は\[\frac{1-3\sqrt{5}}{2} < a <\frac{1+3\sqrt{5}}{2}\]となる。
