『ろんりの相談室』問題13.5(1)
$左辺\subseteq 右辺$を示すため、$x\in A\cap\bigcup\mathcal{B}$を任意にとり、$x\in\bigcup\{A\cap B\mid B\in\mathcal{B}\}$を導く。$x\in\bigcup\mathcal{B}$から、$x\in B_0$なる$B_0\in\mathcal{B}$がとれる。これと$x\in A$により$x\in A\cap B_0$である。したがって$\exists B\in\mathcal{B}[x\in A\cap B]$すなわち$x\in\bigcup\{A\cap B\mid B\in\mathcal{B}\}$が成り立つ。
（6/23追加）
$左辺\supseteq 右辺$を示すため、$x\in\bigcup\{A\cap B\mid B\in\mathcal{B}\}$を任意にとり、$x\in A\cap\bigcup\mathcal{B}$を導く。仮定により$x\in A\cap B_1$なる$B_1\in\mathcal{B}$がとれる。したがってまず$x\in A$である。また$x\in B_1$から$\exists B\in\mathcal{B}[x\in B]$すなわち$x\in\bigcup\mathcal{B}$となる。
（6/30追加）
問題13.5(2)
$左辺\subseteq 右辺$を示すため、$x\in A\cup\bigcap\mathcal{B}$を任意にとり、$x\in\bigcap\{A\cup B\mid B\in\mathcal{B}\}$を導く。そのために、さらに$B\in\mathcal{B}$を任意にとり、$x\in A\cup B$を導く。最初の仮定から$x\in A$と$x\in\bigcap\mathcal{B}$の少なくとも一方が成り立つが、前者のときは直ちに、後者のときも$x\in B$から、いずれにせよ$x\in A\cup B$が従う。
$左辺\supseteq 右辺$を示すため、$x\in\bigcap\{A\cup B\mid B\in\mathcal{B}\}$を任意にとり、$x\in A\cup\bigcap\mathcal{B}$を導く。$x\in A$のときは直ちに導かれるので、以下では$x\notin A$とする。$B\in\mathcal{B}$を任意にとると、仮定により$x\in A\cup B$であり、いま$x\notin A$であるので$x\in B$である。以上により$x\in\bigcap\mathcal{B}$だから$x\in A\cup\bigcap\mathcal{B}$でもある。
