距離空間\((X,d)\)を考える。
【定義】（\(\epsilon\)-近傍）
点\(a\in X\)と正の実数\(\epsilon\)に対し、\(a\)から距離\(\epsilon\)未満の点の集合、すなわち\(\{x\in X|d(a,x)<\epsilon\}\)を「点\(a\)の\(\epsilon\)-近傍」と呼び、\(U(a,\epsilon)\)で表す。
【定理1】（点は自身の近傍の要素）
任意の\(x\in X\)と\(\epsilon > 0\)について、\(x\in U(x,\epsilon)\)が成り立つ。
（証明）
距離の性質により\(d(x,x)=0 < \epsilon\)であるから。■
【定義】（境界点）
集合\(A\subset X\)に対し、\(X\)の点で、いかなる\(\epsilon\)-近傍を取っても\(A\)と\(X-A\)の双方に同時に交わるもの、すなわち\(\forall \epsilon > 0\ [U(x,\epsilon)\cap A\neq\varnothing\wedge U(x,\epsilon)\cap (X-A)\neq\varnothing]\)を満たす点\(x\in X\)を、「\(X\)における\(A\)の境界点」と呼ぶ。
【定理2】（境界点でない）
集合\(A\subset X\)に対し、点\(x\in X\)が\(X\)における\(A\)の境界点でないためには、\(x\)の\(\epsilon\)-近傍で\(A\)あるいは\(X-A\)に包含されるものが取れること、すなわち\(\exists \epsilon > 0\ [U(x,\epsilon)\subset X-A\vee U(x,\epsilon)\subset A]\)が成り立つことが必要十分である。
（証明）一般に全体集合を\(X\)とすると、\(B\cap A=\varnothing\)と\(B\subset X-A\)は同値、\(B\cap(X-A)=\varnothing\)と\(B\subset A\)は同値である。このことを用いて、境界点の定義における論理式の否定を作ればよい。■
\(X\)における\(A\)の境界点も境界点でない点も、\(A\)に属すこともあれば\(X-A\)に属すこともある。境界点でないものを「内点」と「外点」に分類する。
【定義】（内点・外点）
\(X\)における\(A\)の境界点でない点のうち、\(A\)に属すものを「\(X\)における\(A\)の内点」、\(X-A\)に属すものを「\(X\)における\(A\)の外点」と呼ぶ。
【定理3】（内点の別定義）
集合\(A\subset X\)と点\(x\in X\)について、\(x\)が\(X\)における\(A\)の内点であるためには、\(U(x,\epsilon)\subset A\)を満たす\(\epsilon > 0\)が存在することが必要十分である。
（証明）\(x\)が\(X\)における\(A\)の内点である、すなわち(1)\(x\)は\(A\)の境界点ではなく、かつ(2)\(x\in A\)であると仮定する。(1)と定理2（境界点でない）から、\(U(x,\epsilon)\subset X-A\vee U(x,\epsilon)\subset A\)を満たす\(\epsilon > 0\)がとれるが、いま(2)と\(x\in U(x,\epsilon)\)から、\(A\)と\(U(x,\epsilon)\)は共通の要素\(x\)を持つため、\(U(x,\epsilon)\subset X-A\)は成立し得ない。したがって\(U(x,\epsilon)\subset A\)が成り立つ。
逆に\(U(x,\epsilon)\subset A\)となる\(\epsilon\)が取れると仮定する。\(x\in U(x,\epsilon)\subset A\)から\(x\in A\)であり、また\(x\)は定理2の「境界点でないための条件」も満たしている。したがって\(x\)は\(A\)の内点である。■
【定義】（開集合）
\(X\)の部分集合で、自身の\(X\)における境界点を要素に持たない（すなわち、内点のみを要素に持つ）ものを「\(X\)の開集合」と呼ぶ。
【定理4】（開集合の別定義）
集合\(A\subset X\)が\(X\)の開集合であるためには、自身の任意の要素\(a\)との間に\(U(a,\epsilon)\subset A\)を満たす\(\epsilon\)-近傍がそのつど取れること、すなわち\(\forall a\in A\ \exists \epsilon > 0[U(a,\epsilon)\subset A]\)の成り立つことが必要十分である。
（証明）開集合の定義と定理3（内点の別定義）から直ちに導かれる。
【定理5】（\(\epsilon\)-近傍は開集合のひとつ）
任意の点\(a\in X\)と\(\delta > 0\)に対して、\(U(a,\delta)\)は\(X\)の開集合である。
（証明）\(a\in X, \delta > 0\)と仮定し、\(U(a,\delta)\)が定理4（開集合の別定義）の条件を満たすことを示す。\(U(a,\delta)\)の任意の要素\(b\)をとると、\(d(a,b) < \delta\)から、\(U(b,\delta-d(a,b) )\)という近傍を考えることができる。これが\(U(a,\delta)\)に包含されることを示す。\(c\in U(b,\delta-d(a,b) )\)すなわち\(d(b,c) < \delta-d(a,b)\)と仮定すると、三角不等式から\(d(a,c)\leq d(a,b)+d(b,c) < d(a,b)+(\delta-d(a,b) )=\delta\)、したがって\(d(a,c) < \delta\)すなわち\(c\in U(a,\delta)\)である。■
【定理6】（\(\epsilon\)-近傍がはさめる⇔開集合がはさめる）
点\(x\in X\)と集合\(A\subset X\)とについて、\(U(x,\epsilon)\subset A\)となる\(\epsilon\)-近傍が存在することと、\(x\in V\subset A\)となる\(X\)の開集合\(V\)が存在することとは必要十分である。
（証明）\(U(x,\epsilon)\subset A\)となる\(\epsilon\)-近傍が存在するとき、定理5からこれを\(V\)とすれば\(x\in V\subset A\)を満たす開集合となる。
逆に、\(x\in V\subset A\)を満たす開集合\(V\)が存在するとき、定理4から\(U(x,\epsilon)\subset V(\subset A)\)となる\(\epsilon\)-近傍がとれる。■
\(\epsilon\)-近傍は開集合の一種であり同じものではないが、この定理6により、「点と集合との間に差し挟むことができるかどうか」という観点からは両者の違いを心配する必要がないことが分かる。
……と、ここまでが準備。定理4と定理6から、直ちに次の定理7を得る。
【定理7】（開集合を開集合で特徴づける）
集合\(A\subset X\)が\(X\)の開集合であるためには、\(A\)の任意の要素\(a\)の各々に対し、\(a\in V\subset A\)を満たす\(X\)の開集合\(V\)が（そのつど）存在することが必要十分である。
これを見ると、「開集合であること」の必要十分条件に再び「開集合」が登場している。\[Aは開集合\leftrightarrow\forall a\in A\ \exists(開集合V)[a\in V\subset A]\]これは循環論法というわけでは全くないが、さすがにこれを開集合の別定義として採用する気にはならない。しかしこの定理は、距離空間における開集合の定義のブートストラップ的役割を果たしていた\(\epsilon\)-近傍を表舞台から取り去ることによって、位相空間への抽象化の片鱗を見せてくれる定理であるとみなすことができる。
右側にある\(\exists(開集合V)[a\in V\subset A]\)という論理式をよく見てみよう。従来の見方では、この条件は「\(a\)は\(A\)との間に開集合を差し挟める」、すなわち「\(a\)は\(A\)の内点である」という意味であった。しかし見方を変えると、「\(a\)は、\(A\)に包含される何らかの開集合の要素である」とも読める。すると、この条件の真理集合、すなわち「\(A\)の内点の集合」は、「\(A\)に包含されるすべての開集合の和集合」でもあることが分かるだろうか？おそらくここは、何の苦もなくスンナリ分かる人もいれば、かなり考えて初めて納得できる人もいると思う。分かってしまえば当然のことであるが、この言い換えがスムーズにできることはその後の見通しを非常に良くしてくれるのではないかと思う。
開集合を「自分の内点の集合と一致する集合」と表現するならば、上の考察によって「包含しているすべての開集合の和集合をつくると、自分が再現されるような集合」と言い換えることもできるのである。ここまで考えると、開集合系の公理のひとつである「開集合（無限個でもよい）の和集合もまた開集合である」という要請は外すことができないだろうと思えるようになってくる。
