任意の集合\(A\)の部分集合上の整列順序の全体を\(\mathcal W\)とする。\(\mathcal W\)の元\( (A_1, < _1),(A_2, < _2)\)について、前者が後者の部分順序となっており、かつ\(A_1\)が\(A_2\)の（順序\( < _2\)における）切片となっているとき、\( (A_1, < _1)\prec(A_2, < _2) \)であると定義する。すると\( (\mathcal{W}, \prec)\)は半順序集合となる（証明略）。
\(\mathcal W\)の部分集合で\(\prec\)-全順序をなすもの\(\mathcal C\)について、\(\mathcal C\)のすべての元（の台集合）の和集合を\(C_0\)とする。\(C_0\)の任意の元\(x,y\)に対し、\(\mathcal C\)の\(\prec\)-全順序性から、両者をともに要素として持つ整列集合\( (A, < _A)\)が存在する。そこで\(x < _A y\)のとき\(x < _0 y\)と定義すれば、これは\(A\)の取り方によらない（証明略）。このように定めた\( (C_0, < _0)\)は\(\mathcal C\)の\(\prec\)-上界となる（証明略)。
Zornの補題により、\(\mathcal W\)は\(\prec\)-極大元\( (M, < _M)\)を持つ。いま\(a\in A\backslash M\)なる\(a\)が存在すると仮定すると、\(M\)の後ろに\(a\)を追加した整列順序を作ることができ、\(M\)の極大性に反する。よって\(A=M\)、したがって\(A\)は整列可能である。■
