\({\bf R}^n\)において\(d(a,b)=\epsilon > 0\)のとき、任意の\(\epsilon' > 0\)に対して\(U(a,\epsilon)\)と\(U(b,\epsilon')\)は交わることを示せ。
（証明）
\(\epsilon' > \epsilon\)のとき、\(d(b,a)=\epsilon < \epsilon'\)から\(a\in U(b,\epsilon')\)、したがって\(U(a,\epsilon)\)と\(U(b,\epsilon')\)は\(a\)を共有する。
\(\epsilon'\leq\epsilon\)のとき、\(a=(a_1,a_2,\ldots,a_n),b=(b_1,b_2,\ldots,b_n)\)に対し、\(c=(c_1,c_2,\ldots,c_n)\)を\[c_k=\frac{\epsilon'}{2\epsilon}a_k+\left(1-\frac{\epsilon'}{2\epsilon}\right)b_k\qquad(k=1,2,\ldots,n)\]で定めると、\(d(a,c)=\epsilon-(\epsilon'/2) < \epsilon\)、また\(d(b,c)=\epsilon'/2 < \epsilon'\)となるから、\(c\)は\(U(a,\epsilon)\)にも\(U(b,\epsilon')\)にも属す。■
