近傍系による位相の定義

\(S\)の各要素\(x\)に対し、\(S\)の部分集合のひとつ以上からなる集合族\(\mathcal{V}(x)\)が対応づけられており、以下をすべて満たすとする。ただし\(A\triangleright x\)は\(A\in\mathcal{V}(x)\)を意味する。

(V1)\(A\triangleright x\rightarrow x\in A\)
(V2)\(\exists U[A\supset U\wedge U\triangleright x]\rightarrow A\triangleright x\)
(V3)\((A\triangleright x\wedge B\triangleright x)\rightarrow A\cap B\triangleright x\)
(V4)\(A\triangleright x\rightarrow \exists U\triangleright x\ \forall y\in U[A\triangleright y]\)

集合族\(\mathcal{O}=\{A\subset S|\forall x\in A[A\triangleright x]\}\)を作り、これが「\(\mathcal{V}\)が各点の近傍系を与えるような、唯一の開集合系」であることを示す。以下の3つの命題の証明は互いに依存しておらず、どれから先に示してもよい。

【命題1】\(\mathcal{O}\)は開集合系をなす。
（証明）(O1)\(S\in\mathcal{O}, \varnothing\in\mathcal{O}\)：
　\(x\in S\)と仮定する。\(\mathcal{V}(x)\neq\varnothing\)の要素のひとつを\(U\)とすると\(S\supset U\)かつ\(U\triangleright x\)、したがって(V2)から\(S\triangleright x\)。以上により\(\forall x\in S[S\triangleright x]\)が言えたので、\(S\)は\(\mathcal{O}\)の要素である。また\(\forall x\in\varnothing[\varnothing\triangleright x]\)は真であるので\(\varnothing\in\mathcal{O}\)も成り立つ。
(O2)\((A\in\mathcal{O}\wedge B\in\mathcal{O})\rightarrow A\cap B\in\mathcal{O}\)：
　\(A\in\mathcal{O}\)かつ\(B\in\mathcal{O}\)と仮定し、さらに\(x\in A\cap B\)と仮定する。\(x\in A\in\mathcal{O}\)から\(A\triangleright x\)、また\(x\in B\in\mathcal{O}\)から\(B\triangleright x\)、したがって(V3)から\(A\cap B\triangleright x\)。
(O3)\(\{A_\lambda\in\mathcal{O}:\lambda\in\Lambda\}\)に対し、\(\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\in\mathcal{O}\)：
　\(\displaystyle x\in \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\)と仮定する。\(x\in A_\lambda\)なる\(\lambda\in\Lambda\)が存在するのでそのひとつを\(\mu\)とすれば、\(A_\mu\in\mathcal{O}\)から\(A_\mu\triangleright x\)、これと\(\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\supset A_\mu\)から(V2)により\(\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\triangleright x\)。■
【命題2】（\(\mathcal{V}(x)\)は\(x\)の近傍を与える）
任意の\(x\in S\)と任意の\(X\subset S\)に対し、\(\exists U\in\mathcal{O}[x\in U\subset X]\)と\(X\triangleright x\)とは同値である。
（証明）任意の\(x\in S\)および任意の\(X\subset S\)をとる。
　まず\(\exists U\in\mathcal{O}[x\in U\subset X]\)を仮定し、\(X\triangleright x\)を導く。\(x\in U\subset X\)なる\(U\in\mathcal{O}\)をひとつ選んで\(U_0\)とする。\(x\in U_0\in\mathcal{O}\)から\(U_0\triangleright x\)であり、これと\(X\supset U_0\)から(V2)により\(X\triangleright x\)である。
　逆に\(X\triangleright x\)を仮定し、\(\exists U\in\mathcal{O}[x\in U\subset X]\)を導く。そのために\[U=\{y\in S|X\triangleright y\}\]なる集合を作り、この\(U\)が\(x\in U\subset X\)かつ\(U\in\mathcal{O}\)を満たすことを示す。
・\(x\in U\)について：\(X\triangleright x\)と\(U\)の定義による。
・\(U\subset X\)について：\(U\)の任意の要素\(y\)をとると\(X\triangleright y\)から(V1)により\(y\in X\)。
・\(U\in\mathcal{O}\)すなわち\(\forall z\in U[U\triangleright z]\)について：\(U\)の任意の要素\(z\)をとると\(X\triangleright z\)だから、(V4)により\(\forall w\in W[X\triangleright w]\)かつ\(W\triangleright z\)を満たす\(W\)がとれるが、前者の条件は\(U\supset W\)ということにほかならない。すると(V2)により\(U\triangleright z\)。■

【命題3】（一意性）
\(S\)の開集合系\(\mathcal{O}'\)が（命題2における\(\mathcal{O}\)同様に）
(*)：「任意の\(x\in S\)と任意の\(X\subset S\)に対し、\(\exists U\in\mathcal{O}'[x\in U\subset X]\)と\(X\triangleright x\)とは同値」
を満たすならば、\(\mathcal{O}'=\mathcal{O}\)である。
（証明）\(X\in\mathcal{O}'\)という条件は、\(\mathcal{O}'\)が開集合系であることから\(\forall x\in X\ \exists U\in\mathcal{O}'[x\in U\subset X]\)と書ける。いっぽう\(X\in\mathcal{O}\)という条件は、\(\mathcal{O}\)の定義から\(\forall x\in X[X\triangleright x]\)のことである。両者は(*)により同値である。■