●補題5.56\[g[\xi\mapsto a][\zeta\mapsto b]=g[\zeta\mapsto b][\xi\mapsto a]\]（証明）左辺の写像を\(g_1\)、右辺の写像を\(g_2\)とし、任意の変項\(\eta\)に対し\(g_1(\eta)=g_2(\eta)\)となることを示す。\(\xi\not\equiv\zeta\)により、\(g_1(\xi)\)および\(g_2(\xi)\)は\(\zeta\)変異の影響を受けず、ともに\(g[\xi\mapsto a](\xi)\)（すなわち\(a\)）に等しい。同様に\(g_1(\zeta)=g_2(\zeta)\)である。\(\xi\)とも\(\zeta\)とも異なる変項\(\eta\)については、\(g_1,g_2\)は\(\xi,\zeta\)変異の影響を受けず、ともに\(g(\eta)\)に等しくなる。■
●補題5.56の系（教科書にない）\[g\cdots[\xi\mapsto a][\zeta\mapsto b]\cdots=g\cdots[\zeta\mapsto b][\xi\mapsto a]\cdots\]（すなわち、一連の変異の末尾だけでなく、途中において隣接している変異を入れ替えても差し支えない）
（証明）\(g\cdots\)を補題5.56における\(g\)と見れば、まず\[g\cdots[\xi\mapsto a][\zeta\mapsto b]=g\cdots[\zeta\mapsto b][\xi\mapsto a]\]である。等しい割り当てに等しい変異を施した割り当てもやはり等しいから、上が成り立つ。■
●練習問題5.58\[g[x\mapsto a][y\mapsto b][z\mapsto c]=g[z\mapsto c][y\mapsto b][x\mapsto a]\]（証明）\(x,y,z\)がすべて異なる変項であることに注意して、上の「補題5.56の系」を3回適用すれば得られる。■
●系5.57\[g\cdots[\xi_3\mapsto a_3]\underbrace{\cdots}_{4,5,6,7}[\xi_8\mapsto a_8]\cdots=g\cdots[\xi_8\mapsto a_8]\underbrace{\cdots}_{4,5,6,7}[\xi_3\mapsto a_3]\cdots\]（証明）「補題5.56の系」を繰り返し適用すれば得られる。このとき、\(\xi_3\)は\(\xi_4\)～\(\xi_8\)のいずれとも異なり、かつ\(\xi_8\)は\(\xi_3\)～\(\xi_7\)のいずれとも異なっていなければならない（間の\(\xi_4\)～\(\xi_7\)同士については同じ変項があってもよい。教科書では\(\xi_3\not\equiv\xi_8\)に当たる仮定が抜けている）。■
●補題5.59(1)
（証明）変項\(\xi\)、解釈\(\langle M,g\rangle\)、\(a\in D_M\)を任意にとり、各自然数\(k\)について命題\[\xi\notin fv(\tau)なる深さkの任意の項\tauについて[\![\tau]\!]_{M,g}=[\![\tau]\!]_{M,g[\xi\mapsto a]}\]を\(C(k)\)で表す。任意の自然数\(d\)をとり、それに満たない自然数すべてについて\(C\)が成り立つことを仮定し、\(C(d)\)を導く。\(\xi\notin fv(\tau)\)なる深さ\(d\)の項\(\tau\)を任意にとる。
\(d=1\)の場合：\(\tau\)は名前\(\alpha\)あるいは変項\(\zeta\)（\(\not\equiv\xi\)）であり、いずれにせよ\([\![\tau]\!]_{M,g}\)および\([\![\tau]\!]_{M,g[\xi\mapsto a]}\)はともに\(F_M(\alpha)\)あるいはともに\(g(\zeta)\)となって等しい。
\(d > 1\)の場合：\(\tau\)は深さ\(d\)未満の項\(\tau_1,\ldots,\tau_n\)と演算子\(o\)を用いて\(o(\tau_1,\ldots,\tau_n)\)と書かれる。すると\[ [\![\tau]\!]_{M,g}=[\![o(\tau_1,\ldots,\tau_n)]\!]_{M,g}=F_M(o)([\![\tau_1]\!]_{M,g},\ldots,[\![\tau_n]\!]_{M,g})\]であり、いっぽう\[ [\![\tau]\!]_{M,g[\xi\mapsto a]}=[\![o(\tau_1,\ldots,\tau_n)]\!]_{M,g[\xi\mapsto a]}=F_M(o)([\![\tau_1]\!]_{M,g[\xi\mapsto a]},\ldots,[\![\tau_n]\!]_{M,g[\xi\mapsto a]})\]となる。いま\(\xi\notin fv(\tau)\)から\(\xi\notin fv(\tau_i)\)（\(i=1,\ldots,n\)）であり、帰納法の仮定から各\(i\)について\([\![\tau_i]\!]_{M,g}=[\![\tau_i]\!]_{M,g[\xi\mapsto a]}\)が成り立つ。したがって両者は等しい。■
