近傍系による位相の定義

\(S\)の各要素\(x\)に対し、\(S\)の部分集合のひとつ以上からなる集合族\(V(x)\)が対応づけられており、以下をすべて満たすとする。ただし\(A\triangleright x\)は\(A\in V(x)\)を意味する。

(V1)\(A\triangleright x\rightarrow x\in A\)
(V2)\(\exists U[A\supset U\wedge U\triangleright x]\rightarrow A\triangleright x\)
(V3)\((A\triangleright x\wedge B\triangleright x)\rightarrow A\cap B\triangleright x\)
(V4)\(A\triangleright x\rightarrow \exists U\triangleright x\ \forall y\in U[A\triangleright y]\)

集合族\(O=\{A\subset S|\forall x\in A[A\triangleright x]\}\)を作る。

【定理1】\(O\)は開集合系をなす。
(証明)(O1)\(S\in O, \varnothing\in O\):
 \(x\in S\)と仮定する。\(V(x)\)の要素のひとつを\(U\)とすると\(S\supset U\)かつ\(U\triangleright x\)、したがって(V2)から\(S\triangleright x\)。以上により\(\forall x\in S[S\triangleright x]\)が言えたので、\(S\)は\(O\)の要素である。また\(\forall x\in\varnothing[\varnothing\triangleright x]\)は真であるので\(\varnothing\in O\)も成り立つ。
(O2)\((A\in O\wedge B\in O)\rightarrow A\cap B\in O\)
 \(A\in O\)かつ\(B\in O\)と仮定し、さらに\(x\in A\cap B\)と仮定する。\(x\in A\in O\)から\(A\triangleright x\)、また\(x\in B\in O\)から\(B\triangleright x\)、したがって(V3)から\(A\cap B\triangleright x\)。以上により\(\forall x\in A\cap B[A\cap B\triangleright x]\)が言えたので、\(A\cap B\)は\(O\)の要素である。
(O3)\(\{A_\lambda\in O:\lambda\in\Lambda\}\)に対し、\(\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\in O\):
 \(\displaystyle x\in \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\)と仮定する。\(x\in A_\lambda\)なる\(\lambda\in\Lambda\)が存在するのでそのひとつを\(\mu\)とすれば、\(A_\mu\in O\)から\(A_\mu\triangleright x\)、これと\(\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\supset A_\mu\)から(V2)により\(\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\triangleright x\)。以上により\(\displaystyle\forall x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda[\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\triangleright x]\)が言えたので、\(\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\)は\(O\)の要素である。■
【定理2】任意の\(x\in S\)と任意の\(X\subset S\)に対し、\(\exists U\in O[x\in U\subset X]\)と\(X\triangleright x\)とは同値である。
(証明)\(x\in S,X\subset S\)とする。
 まず\(\exists U\in O[x\in U\subset X]\)を仮定し、\(X\triangleright x\)を導く。\(x\in U\subset X\)なる\(U\in O\)をひとつ選んで\(U_0\)とする。\(x\in U_0\in O\)から\(U_0\triangleright x\)であり、これと\(X\supset U_0\)から(V2)により\(X\triangleright x\)である。
 逆に\(X\triangleright x\)を仮定し、\(\exists U\in O[x\in U\subset X]\)を導く。そのために\(U=\{y\in S|X\triangleright y\}\)なる集合を作り、この\(U\)が\(x\in U\subset X\)かつ\(U\in O\)を満たすことを示す。\(X\triangleright x\)と\(U\)の定義から\(x\in U\)。また\(U\)の任意の要素\(y\)をとると\(X\triangleright y\)から(V1)により\(y\in X\)、したがって\(U\subset X\)である。これで\(x\in U\subset X\)は示されたので、続いて\(U\in O\)すなわち\(\forall z\in U[U\triangleright z]\)を示す。\(U\)の任意の要素\(z\)をとると\(X\triangleright z\)だから、(V4)により\(\forall w\in W[X\triangleright w]\)かつ\(W\triangleright z\)を満たす\(W\)がとれるが、前者の条件は\(U\supset W\)ということにほかならない。すると(V2)により\(U\triangleright z\)。■

【定理3】\(S\)の開集合系\(O'\)が「任意の\(x\in S\)と任意の\(X\subset S\)に対し、\(\exists U\in O'[x\in U\subset X]\)と\(X\triangleright x\)とは同値である」……(*)を満たすならば、\(O'=O\)である。
(証明)\(X\in O\)、すなわち\(\forall x\in X[X\triangleright x]\)という条件を(*)によって書き直すと\(\forall x\in X\ \exists U\in O'[x\in U\subset X]\)となるが、これは\(O'\)が開集合系であることから\(X\in O'\)と同値である。■