・\(\bigcup_{X\in\mathcal{H}}X\)のことを単に\(\bigcup\mathcal{H}\)と書くのと同様に、直和についても\(\sum_{X\in\mathcal{H}}X\)のことを単に\(\sum\mathcal{H}\)と書くことにする。
・空集合はゼロ個の集合の和集合と考え、「\(\mathcal{G}\cup\{\varnothing\}\)の要素の（可算）和」を「\(\mathcal{G}\)の要素の（可算）和」で済ます。
\(\mathcal{A}\)の要素の可算個の族\(\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\)を任意にとる。\(\mathcal{G}\)が\(S\)の分割であることから、各\(A_n\)は\(\mathcal{H}_n\subseteq\mathcal{G}\)を用いて\(A_n=\sum\mathcal{H}_n\)と表され、\(S\backslash A_n=\sum(\mathcal{G}\backslash\mathcal{H}_n)\)である。ただし\(n\)ごとに\(\mathcal{H}_n\)と\(\mathcal{G}\backslash\mathcal{H}_n\)の少なくとも一方は可算である。また\(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\)およびその補集合は\[\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\sum\mathcal{H}_n=\sum\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}_n\]\[S\backslash\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(S\backslash A_n)=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\sum(\mathcal{G}\backslash\mathcal{H}_n)=\sum\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(\mathcal{G}\backslash\mathcal{H}_n)\]と書ける。
（ア）\(\mathcal{H}_n\)がすべて可算であるとき、\(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{H}_n\)も可算である。
（イ）\(\mathcal{H}_n\)に可算でないものがあるとき、そのひとつを\(\mathcal{H}_i\)とすると、\(\mathcal{G}\backslash\mathcal{H}_i\)が可算となるから、その部分集合である\(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}(\mathcal{G}\backslash\mathcal{H}_n)\)も可算となる。
（ア）のときは\(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\)自身が、（イ）のときはその補集合が\(\mathcal{G}\)の要素の可算和で表されることが示されたので、いずれにせよ\(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\in\mathcal{A}\)となる。
