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中間値の定理の証明・改

高木『解析概論』の中間値の定理の証明が理解しづらかったため、書き直した。

同じ目的で
中間値の定理の証明 - y_bonten's blog
を書いていたが、これも煩雑であったので改良した。

【定理】(中間値の定理)\(a < b\)とする。区間\([a,b]\)において連続な関数\(F(x)\)について、\(F(a) < 0, F(b) > 0\)が成り立つとき、\(F(c)=0\)なる\(c\in(a,b)\)が存在する。

(証明)\(X=\{\xi\in[a,b]\mid\forall x\in[a,\xi]\ [F(x) < 0]\}\)とすれば、\(X\)は以下の性質を満たしている。
(1)\(a\in X,b\notin X\)
(2)\([a,b]\)において下に閉じている。
(3)最大元を持たない。

(1)(2)は\(X\)の定義から直ちに言える。(3)は、任意の\(p\in X\)に対し、\(p\in[a,b),F(p) < 0\)と\(F\)の連続性から、\(p\)のじゅうぶん小さな右近傍で\(F(x) < 0\)となり、\(p < q\)なる\(q\in X\)が存在することから従う。

以上により\([a,b]\)は、\(X\)と「\([a,b]\)における\(X\)の上界全体」とに切断されており、各々\(a,b\)を要素に持つ。\(\mathbb{R}\)の完備性により\(X\)は最小上界\(c\)(ただし\(c\in(a,b]\))を持ち、\([a,c)\subseteq X\)かつ\(c\notin X\)であるから\(F(c)\geq0\)である。

\(F(c) > 0\)と仮定すると矛盾することを示す。このとき、\(c\in(a,b]\)と\(F\)の連続性から、\(c\)のじゅうぶん小さな左近傍で\(F(x) > 0\)となる。すると\(d < c\)なる\(d\in[a,b]\backslash X\)が存在することになり、これは\(c\)が\(X\)の最小上界であることに反する。

以上により\(F(c)=0\)であり、\(F(b) > 0\)から\(c\neq b\)、これと\(c\in(a,b]\)から\(c\in(a,b)\)である。■