発端はこのツイート。
位相空間\(X\)から位相空間\(Y\)への写像\(f\)について、次の2つはともに\(f\)の連続性を意味している。両者の同値性を、他の連続性の定義を経由せずに直接示したい。この(d)と(e)、双対だし自明に同値変形できるでしょと思ったができなかった（実はできるのか？） pic.twitter.com/6RWvOHijw9
— 箱 (@o_ccah) 2017年10月7日
(d)任意の\(B\subseteq Y\)について\(f^{-1}\left[B^\circ\right]\subseteq\left(f^{-1}[B]\right)^\circ\)
(e)任意の\(A\subseteq X\)について\(f[\overline{A}]\subseteq\overline{f[A]}\)
両者はそれぞれ「逆像・開核」／「順像・閉包」の流儀で書かれていて、一見すると綺麗な双対になっているが、あえて閉包で揃えたほうが見通しが良いように思われる。(d)を閉包で書き直すと
(d)任意の\(B\subseteq Y\)について\(\overline{f^{-1}[B]}\subseteq f^{-1}[\overline{B}]\)
となる。閉包作用素の単調性（\(P\subseteq Q\)ならば\(\overline{P}\subseteq\overline{Q}\)）から、(d)の\(\overline{f^{-1}[B]}\subseteq f^{-1}[\overline{B}]\)は「\(A\subseteq f^{-1}[B]\)を満たす任意の\(A\)に対して\(\overline{A}\subseteq f^{-1}[\overline{B}]\)が成り立つこと」と同値である。つまり(d)は\[A\subseteq f^{-1}[B]\rightarrow\overline{A}\subseteq f^{-1}[\overline{B}]\]と書き直せる。同様に(e)を書き直すと
\[f[A]\subseteq B\rightarrow f[\overline{A}]\subseteq\overline{B}\]となる。両者を見比べると、「ならば」の前件同士・後件同士がそれぞれ同値であるから、全体としても同値である。
この証明は、
およびあまり褒められた書き方ではありませんが、こういう風にすれば、一応は随伴からくる性質と閉包作用素の単調性だけから示されそうです。 pic.twitter.com/fH2KBgdMB8
— Atsushi Yamashita (@yamyam_topo) 2017年10月12日
の回答を参考にし、見通しよくリファクタリングしたものであり、私からの新しいアイデアは特にない。まず(d)と(e)をそれぞれ
— shu (@LT_shu) 2017年10月13日
「A⊂XとB⊂Yに対して，A∩f^{-1}(B)=∅ならばĀ∩f^{-1}(B°)=∅」
「A⊂XとB⊂Yに対して，f(A)∩B=∅ならばf(Ā)∩B°=∅」
と言い換えて，「ならば」の前と後それぞれの同値性を見る，というのはどうでしょう．
（2018年12月9日追記：）
より簡明な方法を考えてみた。
閉包を\((\cdot)^a\)、補集合を\((\cdot)^c\)で表す。\(f[P]\subseteq Q\Leftrightarrow P\subseteq f^{-1}[Q]\)により、(e)を 書き換えておく。
(d)\(f^{-1}[B^o]\subseteq f^{-1}[B]^o\)
(e)\(A^a\subseteq f^{-1}[f[A]^a]\)
(d)の\(B\)として\(f[A]^c\)を選ぶと、
左辺は\(f^{-1}[f[A]^{co}]=f^{-1}[f[A]^{ac}]=f^{-1}[f[A]^a]^c\)、
右辺は\(f^{-1}[f[A]^c]^o=f^{-1}[f[A]]^{co}\subseteq A^{co}=A^{ac}\)
となるから、\(f^{-1}[f[A]^a]^c\subseteq A^{ac}\)すなわち(e)を得る。
(e)の\(A\)として\(f^{-1}[B^c]\)を選ぶと、
左辺は\(f^{-1}[B^c]^a=f^{-1}[B]^{ca}=f^{-1}[B]^{oc}\)、
右辺は\(f^{-1}[f[f^{-1}[B^c]]^a]\subseteq f^{-1}[B^{ca}]=f^{-1}[B^{oc}]=f^{-1}[B^o]^c\)
となるから、\(f^{-1}[B]^{oc}\subseteq f^{-1}[B^o]^c\)すなわち(d)を得る。
