松坂和夫『集合・位相入門』p142～p143の「例」の証明を見通しよく書き直したもの。
\(\mathbb{R}^n\)上の点\(a\)と正の実数\(\epsilon\)とに対し、\(a\)から距離が\(\epsilon\)未満の／に等しい／を超える点の集合をそれぞれ\(O_a^{<\epsilon},O_a^{=\epsilon},O_a^{>\epsilon}\)と書くことにする。\(\mathbb{R}^n\)の部分集合\(M\)に対し、\(M\)の要素\(x\)で\(\exists\epsilon>0[O_x^{<\epsilon}\subseteq M]\)を満たすものを「\(M\)の内点」と呼び、\(M\)の補集合の内点を「\(M\)の外点」、\(M\)の内点でも外点でもないものを「\(M\)の境界点」と呼ぶ。\(M\)の内点全体／外点全体／境界点全体の集合をそれぞれ\(M^i,M^e,M^f\)と書けば、\(\mathbb{R}^n=M^i\cup M^e\cup M^f\)（直和）が成り立つ。
いま、特に\(M\)として\(O_x^{<\epsilon}\)自身を考えたとき、\(M^i,M^e,M^f\)が各々\(O_a^{<\epsilon},O_a^{>\epsilon},O_a^{=\epsilon}\)に一致することは直感的には頷けるところであるが、これを証明する。\(\mathbb{R}^n=O_a^{<\epsilon}\cup O_a^{>\epsilon}\cup O_a^{=\epsilon}\)（直和）であるので、\[O_a^{<\epsilon}\subseteq M^i,\]\[O_a^{>\epsilon}\subseteq M^e,\]\[O_a^{=\epsilon}\subseteq M^f\]を示せば、逆の包含も自動的に成り立つことが分かる。
(a)\(O_a^{<\epsilon}\subseteq M^i\)：
\(O_a^{<\epsilon}\)の任意の要素\(b\)をとると\(\epsilon-d(a,b)>0\)である。そこで\(O_b^{<\epsilon-d(a,b)}\)を考えると、その任意の要素\(x\)について\(d(b,x)<\epsilon-d(a,b)\)が成り立つが、これと三角不等式から\(d(a,x)\leq d(a,b)+d(b,x) < \epsilon\)すなわち\(x\in M\)である。ゆえに\(O_b^{<\epsilon-d(a,b)}\subseteq M\)であるので、\(b\)は\(M\)の内点である。
(b)\(O_a^{>\epsilon}\subseteq M^e\)：
\(O_a^{>\epsilon}\)の任意の要素\(b\)をとると\(d(a,b)-\epsilon>0\)である。そこで\(O_b^{ < d(a,b)-\epsilon}\)を考えると、その任意の要素\(x\)について\(d(b,x) < d(a,b)-\epsilon\)が成り立つが、これと三角不等式から\(d(a,x)\geq d(a,b)-d(b,x) > \epsilon\)したがって\(x\notin M\)である。ゆえに\(O_b^{ < d(a,b)-\epsilon}\)は\(M\)と交わらないので、\(b\)は\(M\)の外点である。
(c)\(O_a^{=\epsilon}\subseteq M^f\)：
\(O_a^{=\epsilon}\)の任意の要素\(b\)をとり、\(\epsilon'\)を任意の正の実数として\(O_b^{<\epsilon'}\)を考え、これが\(M\)および\(M\)の補集合と交わることを示す。まず、\(b\)自身が\(M\)に属していないので、\(O_b^{<\epsilon'}\)は\(M\)の補集合と交わっている。
(c-1)\(\epsilon' > \epsilon\)のとき：\(d(b,a)=\epsilon < \epsilon'\)により\(a\in O_b^{<\epsilon'}\)、したがって\(O_b^{<\epsilon'}\)は\(a\)において\(M\)と交わっている。
(c-2)\(\epsilon'\leq\epsilon\)のとき：\(c=b+(\epsilon'/2)(a-b)/\epsilon\)とおくと\(d(b,c)=\epsilon'/2 < \epsilon'\)、いっぽう\(d(a,c)=\epsilon-(\epsilon'/2) < \epsilon\)より、\(O_b^{<\epsilon'}\)と\(M\)は\(c\)を共有している。
