線形代数ゼミ20171108の補足

（関係者向けのノートです。）

●転倒数の定義の同等性の証明
\(\{1,2,\ldots,n\}=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}\)とする。任意の\(k=1,2,\ldots,n\)に対し、\(a_r=k\)を満たす\(r\)はただひとつ存在するから、これを\(c_k\)と書く。
\(\sigma\)をサイズ\(n\)の置換とし、\[X=\{(p,q)\mid a_p < a_q\wedge\sigma(a_p) > \sigma(a_q)\}\]\[Y=\{(i,j)\mid i < j\wedge\sigma(i) > \sigma(j)\}\] とおく。\(|X|=|Y|\)を示すために、\(X\to Y\)および\(Y\to X\)の単射を構成する。
\( (p,q)\in X\)のとき\( (a_p,a_q)\in Y\)であるから、\[\varphi:X\to Y,\ (p,q)\mapsto (a_p,a_q)\]という写像を考えることができる。\( (a_p,a_q)=(a_{p'},a_{q'})\)とすると、\(a_p=a_{p'}\)かつ\(a_q=a_{q'}\)から\(p=p'\)かつ\(q=q'\)、したがって\(\varphi\)は単射である。
いっぽう\( (i,j)\in Y\)のとき\( (c_i,c_j )\in X\)であるから（\(a_{c_k}=k\)に注意）、\[Y\to X,\ (i,j)\mapsto(c_i,c_j)\]という写像を考えることができる。これは\(\varphi\)と同様にして単射であることが分かる。

●補題5.6で\(|T_\tau|\leq|T_{\tau^{-1}}|\)を示す箇所
\[T_\tau=\{(i,j)\mid i < j\wedge \tau(i) > \tau(j)\}\]\[T_{\tau^{-1}}=\{(x,y)\mid x < y\wedge \tau^{-1}(x) > \tau^{-1}(y)\}\]とする。\( (i,j)\in T_\tau\)のとき\( (\tau(j),\tau(i) )\in T_{\tau^{-1}}\)であるから（\(\tau^{-1}(\tau(k))=k\)に注意）、\[T_\tau\to T_{\tau^{-1}},\ (i,j)\mapsto(\tau(j),\tau(i) )\]という写像を考えることができる。\( (\tau(j),\tau(i))=(\tau(j'),\tau(i') )\)とすると、\(\tau(j)=\tau(j')\)かつ\(\tau(i)=\tau(i')\)から\(j=j'\)かつ\(i=i'\)、したがってこの写像は単射である。

連続写像のさまざまな定義

発端はこのツイート。

位相空間\(X\)から位相空間\(Y\)への写像\(f\)について、次の2つはともに\(f\)の連続性を意味している。両者の同値性を、他の連続性の定義を経由せずに直接示したい。

(d)任意の\(B\subseteq Y\)について\(f^{-1}\left[B^\circ\right]\subseteq\left(f^{-1}[B]\right)^\circ\)
(e)任意の\(A\subseteq X\)について\(f[\overline{A}]\subseteq\overline{f[A]}\)

両者はそれぞれ「逆像・開核」／「順像・閉包」の流儀で書かれていて、一見すると綺麗な双対になっているが、あえて閉包で揃えたほうが見通しが良いように思われる。(d)を閉包で書き直すと

(d)任意の\(B\subseteq Y\)について\(\overline{f^{-1}[B]}\subseteq f^{-1}[\overline{B}]\)

となる。閉包作用素の単調性（\(P\subseteq Q\)ならば\(\overline{P}\subseteq\overline{Q}\)）から、(d)の\(\overline{f^{-1}[B]}\subseteq f^{-1}[\overline{B}]\)は「\(A\subseteq f^{-1}[B]\)を満たす任意の\(A\)に対して\(\overline{A}\subseteq f^{-1}[\overline{B}]\)が成り立つこと」と同値である。つまり(d)は\[A\subseteq f^{-1}[B]\rightarrow\overline{A}\subseteq f^{-1}[\overline{B}]\]と書き直せる。同様に(e)を書き直すと
\[f[A]\subseteq B\rightarrow f[\overline{A}]\subseteq\overline{B}\]となる。両者を見比べると、「ならば」の前件同士・後件同士がそれぞれ同値であるから、全体としても同値である。

この証明は、

およびの回答を参考にし、見通しよくリファクタリングしたものであり、私からの新しいアイデアは特にない。

（2018年12月9日追記：）
より簡明な方法を考えてみた。

閉包を\((\cdot)^a\)、補集合を\((\cdot)^c\)で表す。\(f[P]\subseteq Q\Leftrightarrow P\subseteq f^{-1}[Q]\)により、(e)を 書き換えておく。
(d)\(f^{-1}[B^o]\subseteq f^{-1}[B]^o\)
(e)\(A^a\subseteq f^{-1}[f[A]^a]\)
(d)の\(B\)として\(f[A]^c\)を選ぶと、
左辺は\(f^{-1}[f[A]^{co}]=f^{-1}[f[A]^{ac}]=f^{-1}[f[A]^a]^c\)、
右辺は\(f^{-1}[f[A]^c]^o=f^{-1}[f[A]]^{co}\subseteq A^{co}=A^{ac}\)
となるから、\(f^{-1}[f[A]^a]^c\subseteq A^{ac}\)すなわち(e)を得る。
(e)の\(A\)として\(f^{-1}[B^c]\)を選ぶと、
左辺は\(f^{-1}[B^c]^a=f^{-1}[B]^{ca}=f^{-1}[B]^{oc}\)、
右辺は\(f^{-1}[f[f^{-1}[B^c]]^a]\subseteq f^{-1}[B^{ca}]=f^{-1}[B^{oc}]=f^{-1}[B^o]^c\)
となるから、\(f^{-1}[B]^{oc}\subseteq f^{-1}[B^o]^c\)すなわち(d)を得る。

二項関係を保つ／反映する写像

集合\(A,B\)が、それぞれ二項関係\(R,S\)を備えており、\(f\)を\(A\)から\(B\)への写像とする。
【定義】
任意の\(x,y\in A\)について\(xRy\rightarrow f(x)Sf(y)\)が成り立つとき、「\(f\)は関係を保つ(preserves)」あるいは「\(f\)は準同型写像である」という。
任意の\(x,y\in A\)について\(f(x)Sf(y)\rightarrow xRy\)が成り立つとき、「\(f\)は関係を反映する(reflects)」という。
【例】\(R,S\)として特に等号を考えると、「\(f\)は単射である」は「\(f\)は『\(\neq\)』を保つ」とも「\(f\)は『\(=\)』を反映する」とも言い換えられる。
【定義】\(f\)が全単射であり、\(f\)および\(f^{-1}\)がともに関係を保つとき、「\(f\)は同型写像である」という。
\(f\)が全単射のとき、「\(f\)が関係を反映する」ことと「\(f^{-1}\)が関係を保つ」こととは同値である。したがって、上の定義は「全単射\(f\)が関係を保ってしかも反映するとき……」と言い換えてもよい。

以下、特に\(R,S\)が全順序関係である場合を考える。
\(f\)が\(\leq\)を保つことと、\(f\)が\( < \)を反映することは同値である。これらを(1)とする。
\(f\)が\( < \)を保つことと、\(f\)が\(\leq\)を反映することは同値である。これらを(2)とする。
「(1)かつ『\(f\)は単射である』」と、(2)とは同値である。つまり、(2)は\(f\)の単射性を含意しており、(1)より強い条件である。
このことから、単射においては「保たれる／反映される関係が\(\leq\)なのか\( < \)なのか」に注意を払う必要が無いことも分かる。
さらに\(f\)が全単射ならば、上記の議論により(1)のみで\(f\)が同型写像であることが言える。

線形変換の冪の核に対して特徴的な基底

竹山美宏『ベクトル空間』16.2節に相当する議論。

【補題0】\(U,V\)はベクトル空間、\(A,B\)は\(U\)の部分空間で\(A+B\)は直和であり、線形写像\(f:A\oplus B\to V\)は単射であるとする。このとき、\(f[A\oplus B]=f[A]\oplus f[B]\)が成り立つ。
（証明）\(f\)の加法性から\(f[A+B]=f[A]+f[B]\)は直ちに言えるので、あとは\(f[A]\cap f[B]=\{0_V\}\)を示せばよい。まず、\(0_U\in A\cap B\)から\(0_V=f(0_U)\in f[A]\cap f[B]\)である。逆に\(z \in f[A]\cap f[B]\)と仮定すると、\(z=f(a)=f(b)\)なる\(a\in A\)および\(b\in B\)が存在する。\(f\)の単射性から\(a=b\)、したがってこれは\(A\cap B\)に属し\(a=b=0_U\)である。すると\(z=f(0_U)=0_V\)となる。■

\(\varphi\)を有限次元ベクトル空間\(V\)上の線形変換とし、自然数\(i\)に対して\({\rm Ker}\ \varphi^i\)を\(Z_i\)と書く。\(Z_i\)に対して特徴的な基底がとれることを議論する。

【補題1】任意の自然数\(i\)に対し、以下が成り立つ。
(1)\(Z_i\subseteq Z_{i+1}\)
(2)\(\varphi[Z_{i+2}\backslash Z_{i+1}]\subseteq Z_{i+1}\backslash Z_i\)
（証明）(1)\(\varphi^i(x)=0\)のとき、\(\varphi^{i+1}(x)=\varphi(\varphi^i(x))=\varphi(0)=0\)である。
(2)\(x\in\varphi[Z_{i+2}\backslash Z_{i+1}]\)とすると、\(x=\varphi(y)\)かつ\(\varphi^{i+1}(y)\neq0\)かつ\(\varphi^{i+2}(y)=0\)を満たす\(y\in V\)が存在する。後2者はそれぞれ\(\varphi^i(\varphi(y))\neq0,\varphi^{i+1}(\varphi(y))=0\)と書けるので、これと\(x=\varphi(y)\)から\(x\in Z_{i+1}\backslash Z_i\)である。■

【補題2】\(i\)を任意の自然数とする。\(Z_{i+2}\)が\(Z_{i+1}\oplus W\)を部分空間に持つとき、\(Z_{i+1}\)は\(Z_i\oplus\varphi[W]\)を部分空間に持つ。
（証明）\(Z_{i+2}\)が\(Z_{i+1}\oplus W\)を部分空間に持つことから、\(W\subseteq (Z_{i+2}\backslash Z_{i+1})\cup\{0\}\)が成り立つ。これと集合の像の性質により\(\varphi[W]\subseteq\varphi[(Z_{i+2}\backslash Z_{i+1})\cup\{0\}]=\varphi[Z_{i+2}\backslash Z_{i+1}]\cup\varphi[\{0\}]\)、ここで補題1(2)と\(\varphi(0)=0\)を用いると、さらに\(\subseteq(Z_{i+1}\backslash Z_i)\cup\{0\}\)となる。\(Z_{i+1},Z_i,\varphi[W]\)はいずれも\(V\)の部分空間であるので、いま得られた台集合同士の包含関係により、\(Z_{i+1}\)は\(Z_i\oplus\varphi[W]\)を部分空間に持つことが分かる。■

以下、\(Z_4\)の場合について述べるが、一般の\(Z_i\)についても同様である。
\(Z_4\)における\(Z_3\)の補空間のひとつをとって\(W_4\)とすると、\[Z_4=Z_3\oplus W_4\]と書ける。すると補題2から\(Z_3\)は\(Z_2\oplus\varphi[W_4]\)を部分空間に持つ。この空間の\(Z_3\)における補空間のひとつをとって\(W'_3\)とし、さらに\(\varphi[W_4]\oplus W'_3\)を\(W_3\)と書けば\[Z_3=Z_2\oplus\varphi[W_4]\oplus W'_3=Z_2\oplus W_3\]となる。全く同様にして\[Z_2=Z_1\oplus\varphi[W_3]\oplus W'_2=Z_1\oplus W_2\]\[Z_1=Z_0\oplus\varphi[W_2]\oplus W'_1=Z_0\oplus W_1\]を得る。\(Z_0=\{0\}\)から、\(Z_4=W_1\oplus W_2\oplus W_3\oplus W_4\)である。
\(W_4\)を\(W'_4\)とも書くことにし、\(W_1\)～\(W_4\)を順次計算すると\[W_4=W'_4\]\[W_3=\varphi[W_4]\oplus W'_3=\varphi[W'_4]\oplus W'_3\]\[W_2=\varphi[W_3]\oplus W'_2=\varphi^2[W'_4]\oplus\varphi[W'_3]\oplus W'_2\]\[W_1=\varphi[W_2]\oplus W'_1=\varphi^3[W'_4]\oplus\varphi^2[W'_3]\oplus\varphi[W'_2]\oplus W'_1\]途中の計算では、\(k\geq 2\)のとき\({\rm Ker}\ \varphi\upharpoonright_{W_k}=\{0\}\)より、補題0を用いた。

\(k\geq 1\)に対し\(W'_k\)の基底を\(T'_k\)とすると、\(k\)未満の任意の自然数\(n\)について\({\rm Ker}\ \varphi^n\upharpoonright_{W'_k}=\{0\}\)から、\(\varphi^n[T'_k]\)は\(\varphi^n[W'_k]\)の基底となる。したがって、\[T'_4,\varphi[T'_4],\varphi^2[T'_4],\varphi^3[T'_4],\ T'_3,\varphi[T'_3],\varphi^2[T'_3],\ T'_2,\varphi[T'_2],\ T'_1\]を連ねたものは\(Z_4\)の基底である。また\(W'_k\subseteq Z_k\)より\(\varphi^k[W'_k]=\{0\}\)、つまり\(T'_k\)の各ベクトルを\(\varphi^k\)でうつすといずれも\(0\)になる。

娘への手紙

「ある数を3倍しても、同じ数に10を足しても、結果は同じになりました。もとの数は何だったでしょう？」

という問題を小学校1年生の娘に出した。娘は1から順に始めて「1×3＝3、1＋10＝11だからダメ、2×3＝6、2＋10＝12ダメ、……」と試してゆき、ほどなく5×3＝5＋10＝15を見つけた。

以下の半分くらいはすでに本人に伝えたが、これから伝えたいことも含めて手紙にした。


よく見つけたね。

これ、答えが5でラッキーだったね。30とかだったら、今のを30回やらないといけなくて大変だ。

もし50まで試しても見つからなかったら、「そもそもそんな数なんて、ないんじゃないの？」と、不安になる。

でも、どこまで試しても「そんな数はない」と言い切ることはできない。「自分で見つけられなかっただけじゃないの？」って言われたら、言い返せない。

それに、「答えは5だけかな？」……そんなことを言われたら、また6も7も試さないといけなくなるね。

1から順番に試す方法は、

・ものすごくたくさん試さないと見つからないかもしれない
・いくら試して見つからなくても、「そんな数はない」とは言い切れない
・ひとつ見つかったとしても、「それ以外に答えはない」とは言い切れない

という心配がある。もし、

・ひとつひとつ試さなくてもよくて、
・答えがないときはそう言い切れて、
・答えがこれ以外にはない、ということも分かる

ような、そんな方法があったら便利だね。

あるんだ。

まだ説明していないけれど、そのうちどこかで習うかもしれない。

その解き方を身につけたら、ひとつひとつ試す人が馬鹿に見えるかもしれない。

これからいろんな先生に算数を習って、

「この方法でできるようになりなさい」

とか、

「こっちのほうが良い解き方です」

とか、そんな言葉を聞くこともあるだろう。

自分と違う方法を習ったら、どんどん身につければいい。

でも、これだけは忘れないでほしい。

算数にはいろんな解き方があって、正しければどんな方法でもいいんだ。

それぞれに良いところや弱いところがあったりするけれど、

「いちばんいい方法」がひとつだけきまっているわけじゃない。

「まだ習ってませーん」なんて言わずに1から順番に試したのは、

本当に、本当に賢いことなんだよ。

平方数でない自然数の平方根による、有理数の切断

デデキントによる議論を見通し良く。

\(D\)を平方数でない自然数とし、\[A_1=\{x\in\mathbb{Q}\mid x\leq0\vee x^2 < D\},\\A_2=\mathbb{Q}\backslash A_1=\{x\in\mathbb{Q}\mid x > 0\wedge x^2\geq D\}\]とする。\(A_1\)は最大元を持たず、\(A_2\)は最小元を持たないことを示す。

\(x\in\mathbb{Q}\)に対し\(\bar{x}=x(x^2+3D)/(3x^2+D)\)と定めると、\(\bar{x}^2-D=(x^2-D)^3/(3x^2+D)^2\)である。\(x^2+3D > 0,3x^2+D > 0\)により、\(x\)と\(\bar{x}\)の正負は一致し、また「\(x^2\)と\(D\)の大小」と「\(\bar{x}^2\)と\(D\)の大小」も一致する。これと\(A_1,A_2\)の定義から、\(x,\bar{x}\)は同時に\(A_1\)に属すか、または同時に\(A_2\)に属す。

さらに\(x-\bar{x}=2x(x^2-D)/(3x^2+D)\)であるから、「\(x\)と\(\bar{x}\)の大小」は「\(x(x^2-D)\)の正負」に一致する。

任意の\(a_1\in A_1\)をとる。
・\(a_1\leq0\)のとき：\(1\in A_1\)から、\(a_1\)は\(A_1\)の最大元ではない。
・\(a_1 > 0\)のとき：\(a_1^2 < D\)となるから\(a_1(a_1^2-D) < 0\)、したがって\(a_1 < \bar{a_1}\in A_1\)となり、やはり\(a_1\)は\(A_1\)の最大元でない。
以上により、\(A_1\)は最大元を持たない。

次に任意の\(a_2\in A_2\)をとると、\(a_2^2\geq D\)が成り立つが、実際は等号が成立することはなく\(a_2^2 > D\)であるので[*1]、これと\(a_2 > 0\)から\(a_2(a_2^2-D) > 0\)、したがって\(a_2 > \bar{a_2}\in A_2\)となり、\(a_2\)は\(A_2\)の最小元でない。ゆえに\(A_2\)は最小元を持たない。

*1:平方数以外の自然数の平方根は無理数である - y_bonten's blogを参照。

中間値の定理の証明・改

高木『解析概論』の中間値の定理の証明が理解しづらかったため、書き直した。

同じ目的で
中間値の定理の証明 - y_bonten's blog
を書いていたが、これも煩雑であったので改良した。

【定理】（中間値の定理）\(a < b\)とする。区間\([a,b]\)において連続な関数\(F(x)\)について、\(F(a) < 0, F(b) > 0\)が成り立つとき、\(F(c)=0\)なる\(c\in(a,b)\)が存在する。

（証明）\(X=\{\xi\in[a,b]\mid\forall x\in[a,\xi]\ [F(x) < 0]\}\)とすれば、\(X\)は以下の性質を満たしている。
(1)\(a\in X,b\notin X\)
(2)\([a,b]\)において下に閉じている。
(3)最大元を持たない。

(1)(2)は\(X\)の定義から直ちに言える。(3)は、任意の\(p\in X\)に対し、\(p\in[a,b),F(p) < 0\)と\(F\)の連続性から、\(p\)のじゅうぶん小さな右近傍で\(F(x) < 0\)となり、\(p < q\)なる\(q\in X\)が存在することから従う。

以上により\([a,b]\)は、\(X\)と「\([a,b]\)における\(X\)の上界全体」とに切断されており、各々\(a,b\)を要素に持つ。\(\mathbb{R}\)の完備性により\(X\)は最小上界\(c\)（ただし\(c\in(a,b]\)）を持ち、\([a,c)\subseteq X\)かつ\(c\notin X\)であるから\(F(c)\geq0\)である。

\(F(c) > 0\)と仮定すると矛盾することを示す。このとき、\(c\in(a,b]\)と\(F\)の連続性から、\(c\)のじゅうぶん小さな左近傍で\(F(x) > 0\)となる。すると\(d < c\)なる\(d\in[a,b]\backslash X\)が存在することになり、これは\(c\)が\(X\)の最小上界であることに反する。

以上により\(F(c)=0\)であり、\(F(b) > 0\)から\(c\neq b\)、これと\(c\in(a,b]\)から\(c\in(a,b)\)である。■